《{精品}北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《{精品}北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科） 2013.1 本试卷共 4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8 小题 , 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项 中, 选出符合题目要求的一项. 1. 复数 2 1i 化简的结果为 A.1i B.1 i C. 1i D.1i 2. 已知直线 2, : 2 xt l yt （t为参数）与圆 2cos1, : 2sin x C y （为参数），则直线l的倾 斜角及圆心C的直角坐标分别是 A. ,(1,0) 4 B. ,
2、( 1,0) 4 C. 3 ,(1,0) 4 D. 3 ,( 1,0) 4 3. 向量(3,4),( ,2)xab, 若|a ba, 则实数x的值为 A.1 B. 1 2 C. 1 3 D.1 4. 某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的 p为24，则输出 的,n S的值分别为 A.4,30nS B.5,30nS C.4,45nS D.5,45nS 5. 如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于,A B 两点， 弦CD垂直 AB于E. 则下面结论中，错误 的结论是 .BECDEA B.ACEACP C. 2 DEOE EP D. 2 PCPA AB 6. 数列 n a满足 11 1,
3、 nn aar ar（ * ,nrNR且0r） ， 则 “1r” 是 “数列 n a 成等差数列”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数 的个数为 A. 144 B.120 C. 108 D.72 8. 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F ，若椭圆 C 上恰好有6 个不同的 开始 10nS， Sp 是 输入 p 结束 输出n，S nSS3+= 否 1nn E D AB O C P 点P，使得 12 F
4、 F P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 A. 1 2 ( ,) 3 3 B. 1 (,1) 2 C. 2 (,1) 3 D. 1 11 (, )(,1) 3 22 二、填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分. 9. 以yx为渐近线且经过点 (2,0) 的双曲线方程为_. 10. 数列 n a 满足12,a且对任意的 * ,Nm n， 都有 n m n m a a a ， 则 3 _;a n a 的前n项 和 n S _. 11. 在 261 (3)x x 的展开式中，常数项为_.( 用数字作答 ) 12. 三棱锥DABC及其三视图中的主视图和左视图如图
5、所示，则棱 BD的长为 _. 13. 点 ( , )P x y 在不等式组 0, 3, 1 x xy yx 表示的平面区域内， 若点( , )P x y到直线1ykx的最大距离为 2 2，则 _.k 14. 已知正方体 1111 ABCDAB C D 的棱长为1，动点P在正方体 1111 ABCDAB C D 表面上运 动，且PAr（03r），记点P的轨迹的长度为( )f r，则 1 () 2 f _; 关于 r 的方程( )f rk 的解的个数可以为_. （填上所有可能的值）. 三、解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80分. 解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明 过程. 15.（本小题
6、满分13 分） 已知函数 21 ( )3sincoscos 2222 xxx f x，ABC三个内角,A B C 的对边分别 为, ,a b c . （I ）求( )f x的单调递增区间； （）若()1,f BC3,1ab，求角C的大小 . 16. （本小题满分13 分） D A B C 22 主视图 23 4 左视图 汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况, 现随机抽取了这两种车型各100 辆汽 车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: A型车 出租天数1 2 3 4 5 6 7 车辆数5 10 30 35 15 3 2 B型车 出租天数1 2 3 4 5 6 7
7、车辆数14 20 20 16 15 10 5 （I ）从出租天数为3 天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好 是 A型车的概率； （） 根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车， 一辆 B型车一周内合计出租天数 恰好为 4 天的概率； （）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B 两种车型中购买 一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由. 17. （本小题满分14 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCA B C中，90BAC， 1 2,ABACAAE是BC中点 . （I ）求证： 1 / /A B平面 1 AE
8、C； （II ）若棱 1 AA上存在一点 M，满足 11 B MC E，求 AM的长； （）求平面 1 AEC与平面 11 ABB A所成锐二面角的余弦值. 18. （本小题满分13 分） 已知函数 e ( ). 1 ax f x x （I ） 当1a时, 求曲线( )f x在(0,(0)f处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间 . 19. （本小题满分14 分） E C1 B1 A1 C B A 已知2,2E是抛物线 2 :2Cypx上一点，经过点(2,0)的直线 l与抛物线C交于,A B 两点（不同于点 E），直线 ,EA EB 分别交直线2x于点,MN . （）求抛物线方程及其
9、焦点坐标； （）已知O为原点，求证：MON为定值 . 20. （本小题满分13 分） 已知函数( )f x的定义域为(0,)，若 ( )f x y x 在(0,)上为增函数，则称( )f x为 “一阶比增函数”；若 2 ( )f x y x 在(0,)上为增函数，则称( )f x为“二阶比增函数”. 我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为 1， 所有 “二阶比增函数” 组成的集合记为2. ( ) 已知函数 32 ( )2f xxhxhx，若 1 ( ),f x且 2 ( )f x，求实数h的取值范围； ( ) 已知0abc， 1 ( )f x且( )f x的部分函数值由下表给出， xab
10、cabc ( )f x dd t4 求证：(24)0ddt； ( )定义集合 2 ( ) |( ),(0,)( ),f xf xkxf xk且存在常数使得任取, 请问：是否存在常数 M ，使得( )f x，(0,)x，有( )fxM成立？ 若存在，求出 M 的最小值；若不存在，说明理由. 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理） 参考答案及评分标准20131 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8 小题 , 每小题 5分 , 共 40 分） 题号1 2 3 4 56 7 8 答案A C A B D A C D 二、填空题（本大题共6 小题 , 每小题 5
11、分 , 有两空的小题，第一空3 分，第二空2 分，共 30 分） 三、 解答题( 本大 题共 6 小题 , 共 80 分) 15（本小题满分13 分） 解：（I）因为 21 ( )3sincoscos 2222 xxx f x 3cos1 sin 222 3 sincos 2 1 2 1 x x x x sin() 6 x,6 分 又 sinyx的单调递增区间为 2 ,2 22 kk（），()Zk 所以令 2 2 262 kxk 解得 2 2 2 33 kxk 所以函数( )f x的单调增区间为 2 (2 ,2 ) 33 kk，()Zk,8 分 9 22 4xy 10 1 8; 22 n 11
12、. 135 12 4 2 13 1 14 3 ; 0,2,3,4 4 () 因为 ()1,f BC所以 sin()1 6 BC， 又(0, )BC， 7 (,) 666 BC 所以 , 623 BCBC， 所以 2 3 A ,10 分 由正弦定理 sinsinBA ba 把3,1ab代入，得到 1 sin 2 B, 12 分 又,ba BA，所以 6 B，所以 6 C,13 分 16.（本小题满分13 分） 解：（ I）这辆汽车是A 型车的概率约为 3A 3A,B 出租天数为 天的型车辆数 出租天数为 天的型车辆数总和 30 0.6 3020 这辆汽车是A型车的概率为 0.6 ,3 分 （II
13、 ）设“事件 i A表示一辆型车在一周内出租天数恰好为i天”， “事件 jB 表示一辆型车在一周内出租天数恰好为j天” ， 其中,1,2,3,.,7i j 则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4 天的概率为 132231132231 ()()()()P ABA BA BP A BP A BP A B,5 分 132231 ()()() ()() ()P A P BP A P BP A P B,7 分 52 01 02 03 01 4 1 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 0 9 1 2 5 该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4 天的概率为
14、 9 125 ,9 分 （）设X为 A 型车出租的天数，则X的分布列为 X1 2 3 4 5 6 7 P0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02 设Y为 B 型车出租的天数，则Y的分布列为 Y1 2 34 5 6 7 P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05 ()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02 =3.62 E X ()10.1420.203 0.2040.1650.1560.1070.05E Y =3.48 ,12 分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62 天， B 类车型一
15、个星期出租天数的 平均值为3.48 天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的 方差 , 综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ,13 分 17. （本小题满分14 分） (I) 连接 A C 1 交AC1于点O，连接EO 因为 1 ACC A 1 为正方形，所以O为A C 1 中点， 又E为CB中点，所以EO为 1 A BC的中位线， 所以 1 / /EOA B ,2 分 又EO平面 1 AEC ， 1 A B 平面 1 AEC 所以 1 / /A B 平面 1 AEC ,4 分 （）以A为原点，AB为 x轴，AC为y轴， 1 AA 为z轴建立空间直角坐标系 所以 111 (0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),AABBCCE 设 (0,0,)(02)Mmm，所以 11 ( 2,0,2),(1, 1, 2)B MmC E ， 因为 11 B MC E ，所以 11 0B M C E ，解得1m，所以 1AM,8 分 （）因为 1(1,1,0),(0,2,2)
