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1、2011 东城二模数学文科第 1 页 共 8 页 北京市东城区 2010-2011 学年度综合练习（二） 高三数学（文科） 2011.5 一、本大题共8 小题，每小题5分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1、设集合U=1,2,3,4,5, A=1,2,3, B=3,4,5 ，则() U ABe （A）1 ，2，3，4（ B）1， 2，4，5 （C）1 ，2，5（ D）3 2、若复数 22 (3 )(56)immmm（ Rm）是纯虚数，则 m的值为 （A）0（B） 2 （C ）0 或 3（ D）2 或 3 3、如图，矩形长为6，宽为 4，在矩形内随机地撒300
2、 颗黄豆，数得 落在椭圆外的黄豆数为96 颗，以此实验数据为依据可以估计出 椭圆的面积约为 （A）7.68（B）8.68 （C）16.32（D）17.32 4、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等 腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个 几何体的体积为 （A） 4 3 （B） 8 3 （C）4（ D）8 5、已知 3 sin 4 ，且在第二象限，那么2在 （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限 6、已知点(1,2)A是抛物线C： 2 2ypx与直线l：(1)yk x的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l的距离是 （A） 2 2 （B）2（C）
3、2 2 3 （D）22 7、 ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若0OAABOC，且| |OAAB，则 CA CB等于 （A） 3 2 （B）3（C）3（D）2 3 正视图侧视图 俯视图 2011 东城二模数学文科第 2 页 共 8 页 8、已知函数 2 1,0, ( ) log,0, xx f x xx 则函数1)(xffy的零点个数是 （A）4（B）3（C）2（ D）1 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 9、已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，且( 1)2f, 那么(0)(1)ff 10、不等式组 0, 10, 3260 x xy xy 所表示的平面区域的
4、面积等于 . 11、在ABC中，若 45 ,2Bba，则C . 12、某地为了建立调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三 个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总 人数为；若从调查小组的公务员和教师中随机选2 人撰写调查报 告，则其中恰好有1 人来自公务员的概率为 13、已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为2, 1 ,0，执行该程序后，输出的y的值 分别为, ,a b c，则abc 14、已知等差数列 n a首项为a，公差为b，等比数列 n b首 项为b，公比为 a，其中 ,a b都是大于1的正整数，且 1123 ,ab ba，
5、那么a； 若 对 于 任 意 的 * Nn， 总 存 在 * Nm， 使 得 3 nm ba成立，则 n a 三、解答题： 本大题共6 小题， 共 80 分。解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程。 15、 （本小题共13 分） 已知 7 2 sin() 410 A， (0,) 4 A （）求cos A的值； （）求函数( )cos25coscos1f xxAx的值域 相关人员数抽取人数 公务员32 x 教师48 y 自由职业者64 4 2011 东城二模数学文科第 3 页 共 8 页 E A1 D C C1 B1B A 16、 （本小题共13 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S,
6、且34 nn aS（ * nN） （）证明 : 数列 n a是等比数列； （）若数列 n b满足 * 1 () nnn babnN，且 1 2b，求数列 n b的通项公式 17、 （本小题共13 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，D，E分别为BC， 1 BB的中点， 四边形 11 B BCC是正方形 （）求证： 1 AB平面 1 AC D； （）求证：CE平面 1 AC D 18、 （本小题共13 分） 已知函数xaxxfln)( 2 (Ra) （）若2a，求证：)(xf在(1,)上是增函数； （）求)(xf在1,)上的最小值 19、 （本小题共14 分） 已知椭圆的中
7、心在原点O，离心率 3 2 e，短轴的一个端点为(0,2)，点M为直 线 1 2 yx与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于,A B两点 （）求椭圆的方程； （）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形 20、 ( 本小题共14 分) 已知ba,为两个正数，且ab，设, 2 11 abb ba a当2n， * nN时， 11 11 , 2 nnn nn n bab ba a （）求证：数列 n a是递减数列，数列 n b是递增数列； （）求证：)( 2 1 11nnnn baba ； （）是否存在常数,0C使得对任意 * nN，有Cba nn ，若存在，求出C的取值 范
8、围；若不存在，试说明理由 2011 东城二模数学文科第 4 页 共 8 页 北京市东城区 2010-2011学年度第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案（文科）2011.5 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） 1、B 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 7、C 8、A 二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 9、210、411、105 12、9 3 5 13、614、253n 注：两个空的填空题第一个空填对得2 分，第二个空填对得3 分 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） 15、 （共 13 分） 解： （）因为 0 4 A，且 7 2
9、 sin() 410 A， 所以 442 A， 2 cos() 410 A 因为 coscos() 44 AA cos()cossin()sin 4444 AA 227 224 1021025 所以 4 cos 5 A6 分 （）因为( )cos25coscos1f xxAx 2 2 c o s4 c o sxx 2 2 ( co s1)2x，xR 因为cos 1,1x，所以，当cos1x时，( )f x取最大值6； 当cos1x时，( )f x取最小值2 所以函数( )f x的值域为 2,613 分 16、 （共 13 分） （）证明：由34 nn aS，1n时，34 11 aa，解得1 1
10、 a. 因为34 nn aS，则34 11nn aS(2)n， 所以当2n时， 11 44 nnnnn aSSaa， 2011 东城二模数学文科第 5 页 共 8 页 O E A1 D C C1 B1B A 整理得 1 4 3 nn aa. 又 1 10a， 所以 n a是首项为1，公比为 4 3 的等比数列 . 6 分 、解：因为 1 4 () 3 n n a， 由 * 1 () nnn babnN，得 1 1 4 () 3 n nn bb. 可得)()()( 1231 21nnn bbbbbbbb 1) 3 4 (3 3 4 1 ) 3 4 (1 2 1 1 n n ， （2n） ， 当1
11、n时也满足， 所以数列 n b的通项公式为1) 3 4 (3 1n n b. 13 分 17、 （共 13 分） 证明： （）连结 1 AC， 与 1 AC交于O点，连结OD 因为O，D分别为 1 AC和BC的中点， 所以OD 1 AB 又OD平面 1 AC D， 1 A B平面 1 AC D， 所以 1 AB平面 1 AC D6 分 （）在直三棱柱 111 ABCA BC中， 1 BB平面ABC，又AD平面ABC， 所以 1 BBAD 因为ABAC，D为BC中点， 所以ADBC又 1 BCBBB， 所以AD平面 11 B BCC 又CE平面 11 B BCC， 所以ADCE 2011 东城二
12、模数学文科第 6 页 共 8 页 因为四边形 11 B BCC为正方形，D，E分别为BC， 1 BB的中点， 所以RtCBERt 1 C CD， 1 CC DBCE 所以 1 90BCEC DC 所以 1 C DCE 又 1 ADC DD， 所以CE平面 1 AC D13 分 18、 （共 13 分） （）证明：当2a时，xxxfln2)( 2 ， 当), 1(x时，0 ) 1(2 )( 2 x x xf， 所以)(xf在), 1(上是增函数5 分 （）解：)0( 2 )( 2 x x ax xf， 当0a时，( )0fx， ( )f x在1,)上单调递增，最小值为(1)1f 当0a，当) 2
13、 ,0( a x时，)(xf单调递减； 当), 2 ( a x时，)(xf单调递增 若 1 2 a ，即02a时，)(xf在), 1上单调递增， 又1) 1(f，所以)(xf在), 1上的最小值为1 若 1 2 a ，即2a时，)(xf在 ) 2 , 1 a 上单调递减； 在), 2 ( a 上单调递增 又()ln 2222 aaaa f， 所以)(xf在), 1上的最小值为ln 222 aaa 综上，当2a时，( )f x在1,)上的最小值为1； 2011 东城二模数学文科第 7 页 共 8 页 当2a时，( )f x在1,)上的最大值为ln 222 aaa 13 分 19、 （共 14 分
14、） 解： （）设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 则 3 , 2 2, c a b 解得 2 2a 所以椭圆方程为 22 1 82 xy 5 分 （）由题意(2,1)M，设直线l的方程为 1 2 yxm 由 22 1 , 2 1, 82 yxm xy 得 22 2240 xmxm， 设直线MA，MB的斜率分别为 12 ,k k， 设 1122 (,),(,)A x yB xy，则 1 1 1 1 2 y k x ， 2 2 2 1 2 y k x 由 22 2240 xmxm， 可得 12 2xxm， 2 12 24x xm， 121221 12 1212 11(1)(2
15、)(1)(2) 22(2)(2) yyyxyx kk xxxx 1221 12 11 (1)(2)(1)(2) 22 (2)(2) xmxxmx xx 1212 12 (2)()4(1) (2)(2) x xmxxm xx 2 12 24(2)( 2 )4(1) (2)(2) mmmm xx 22 12 242444 (2)(2) mmmm xx 0 即 12 0kk 2011 东城二模数学文科第 8 页 共 8 页 故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形14 分 20、(共 13 分 ) ( )证明：易知对任意 * nN，0 n a，0 n b 由,ba可知, 2 ab ba 即 11
16、 ba 同理， 11 11 2 ba ba ，即 22 ba 可知对任意 * nN， nn ba 0 22 1 nn n nn nn ab a ba aa， 所以数列 n a是递减数列 0)( 1nnnnnnnn babbbabb， 所以数列 n b是递增数列5 分 ( ) 证明：)( 2 1 22 11nnnn nn nn nn nn babb ba ba ba ba 10 分 （）解：由)( 2 1 11nnnn baba ，可得 1 ) 2 1 ()( n nn baba 若存在常数,0C使得对任意 * nN，有Cba nn ， 则对任意 * nN，Cba n 1 ) 2 1 ()( 即 C ba n 22 2对任意 * nN成立 即 C ba n 22 log 2 对任意 * nN成立 设x表示不超过x的最大整数，则有 C ba C ba22 log1 22 log 22 即当1 22 log 2 C ba n时， C ba n 22 log 2 与 C ba n 22 log
