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1、【高考试卷】 1960 年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 数学 1甲、解方程.07552 2 xx（限定在实数范围内） 解：移项得7552 2 xx 两边平方得,7552 2 xx 整理得.2, 2 1 ,0252 21 2 xxxx得 乙、有 5 组蓝球队，每组 6 队，首先每组中各队进行单循环赛 （每 两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？ . 解：共需比赛 855 2 5 2 6 CC（场） 丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为 正数） . 解：设等比数列的首项为)0(aa，公比为)0(qq，即 , 2 aqaqa 分别取此等比数列各项
2、的对数，即 ,lg2lg,lglg,lgqaqaa 这就形成首项是,lg a公差是qlg的等差数列 丁、求使等式 2 cos 2 sin1 2xx 成立的 x 值的范围（ x 是 0 07200 的 角）. 解：要使等式 2 cos 2 sin1 2xx 成立，必须,0 2 cos x 由此可得角 2 x 在第一象限或第四象限 而已知条件中限定x 为 0 07200 的角， 由此可得360 2 27090 2 0 xx 或 .7205401800 xx或 戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是 O ，直径是 12mm, 钢球放在小孔上测得钢 球上端与机件平面的距离CD是 9m
3、m ，求 这小孔的直径 AB的长 解：联结 OA 则 OA=OC=6（mm) OD=CD-OC=9-6=3(mm） 又)(33936 22 mmODAOAD ).(362mmADAB 己、四棱锥 P-ABCD 的底面是一个正方形， PA与底面垂直，已知 PA=3cm ，P到 BC的距离是 5cm ，求 PC的长 解：ABCD是正方形， 而且 PA 平面 ABCD ， PB BC （三垂线定理） 在直角 PAB中 )(435 2222 cmPAPBAB 在直角 PBC中 ).(4145 2222 cmBCPBPC 2有一直圆柱高是20cm ，底面半径是 5cm,它的一个内接长方体 C O A B
4、 D P A D B C 的体积是 800cm 3，求这长方体底面的长与宽 . 解：设长方体底面的长是xcm ，宽是 ycm.根据题意可得方程组， ).(52),(54 100 40 )52( 80020 22222 cmycmx yx xy yx xy 解得 即 3从一船上看到在它的南30 0东的海面上有一灯塔，船以 30里/ 小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西， 问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里） 解：由题意，船位于点 O ，看到灯 塔A，半小时后船沿 OB 方向行至 B， 由于A在B的正西，所以延长 BA 交OC 于C， 且必有 BC OC OBC= BOC=
5、45 0， OC=BC=OBsin45 0=15 2 2 CA=OCtg30 0=15 2 2 2 3 = 2 65 （里） AB=CB-CA=5 .4)33( 2 25 2 65 2 215 （里） 故这时船与灯塔的距离约为4.5里 4要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为米 （1）求以矩形的一边长 x表示窗户的面积 y的函数; （2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程; （3）画出这函数的图像，并求出x的允许值范围 O 东 450 300 C A B 南 解： （1）因为矩形周长为 6米，所以若设其长为 x米，则其宽为 3-x 窗户的面积 y=x(3-x)=-x 2+3x. （2）由y=-
6、x 2+3x，可得 4 9 ) 2 3 ( 2 xy故其顶点坐标为), 4 9 , 2 3 (对称轴方程为. 2 3 x （3） 令x 2-3x=0， x 1=0,x2=3. 故图象与 x轴相交于点（ 0，0） ， （3，0） ， 其图象如图 根据问题的实际意义，必须y0，所以x 的允许值范围为 : 0x3. 5甲、已知方程0cos3sin42 2 xx的两个根相等，且为锐 角，求和这个方程的两个根 解：由题设，方程的两个根相等，故其判别式 .60, ).(2cos 2 1 cos ,02cos3cos2 ,0cos24)cos1 (16 ,0cos24sin16 ,0cos324)sin4(4 2 2 2 22 为锐角由已知 舍或解之得 acb 由此，原方程化为 Y （ 4 9 , 2 3 ） O X . 2 3 ,0 2 3 322 2 x xx 其相等的二根为 乙、a为何值时，下列方程组的解是正数？ 84 42 yx ayx 解：消去 x，得 ,12)8(ya . 8 816 , 8 12 a a x a y于是可得 欲使其解 x,y 均为正数，必须 . 8, 2 .08 , 0816 ,0 8 12 , 0 8 816 aa aa aa a 即必须 故当2a时，方程组的解均为正数
