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1、绵阳中学2011 级高三第二次月考（2013.12） 理科数学试题（命题人：罗福王逍） 一、选择题 （本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分） 1下列不等式一定成立的是（） A 21 lg()lg 4 xx（0 x）B 1 sin2 sin x x （,xkkZ） C 2 12|xx（xR）D 2 1 1 1x （xR） 2已知命题:p 12 ,x xR， 2121 ()()()0f xf xxx，则p是（） A 12 ,x xR， 2121 ()()()0f xf xxxB 12 ,x xR， 2121 ()()()0f xf xxx C 12 ,x xR， 2121 ()()()0
2、f xf xxxD 12 ,x xR， 2121 ()()()0f xf xxx 3设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“” 是“ab”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4已知集合1,2,3,4,5A，( , ) |,Bx yxA yA xyA，则B所含元素的个数为（） A3 B6 C8 D10 5抛物线 2 4yx的焦点到双曲线 2 2 1 3 y x的渐近线的距离是（） A 1 2 B 3 2 C1D3 6函数cossinyxxx的图象大致为（） 7某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1 桶需耗 A 原料
3、1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产 品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B原料 1 千克每桶甲产品的利润是300 元每桶乙产品的利润是400 元公 司在生产这两种产品的计划中要求每天消耗AB原料都不超过12 千克通过合理安排生产计划，从每 天生产的甲、乙两种产品中。公司共可获得的最大利润是（） A1800 元B2 400 元C2 800 元D3100 元 8过点 (3,1)作圆 22 (1)1xy的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为（） A230 xyB230 xyC430 xyD430 xy 9如图， 1 F、 2 F是椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy与双曲线 2 C
4、的公共焦点，A、B 分别是 1 C、 2 C在第二、四象限的 公共点，若四边形 12 AF BF为矩形，则 2 C的离心率是（） A2B3 y yyy C 3 2 D 6 2 10在平面上， 12 ABAB ， 12 | | 1OBOB ， 12 APABAB ，若 1 | 2 OP ，则|OA的取值范围是 （） A 5 (0, 2 B 57 (, 22 C 5 (,2 2 D 7 (,2 2 二、填空题 （本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分） 11某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积是。 12向量a、b、c在正方形网格中的位 置 则如图所示，若cab（,R） ， 。 13甲
5、、乙、丙、丁和戊5 名学生进行 劳动技术比赛， 决出第 1 名到第 5 名的 名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当 然不会是最差的”从上述回答分析，5 人的名次排列可能有种不同情况 ?（填数字） 14设当x时，函数( )sin2cosf xxx取得最大值，则cos。 15古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数l，3，6， 10， , ，第n 个三角形 数为 2 (1)11 222 n n nn记第 n 个k边形数为( , )N n k， （k3） ， 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 2 11 (
6、 ,3) 22 N nnn， 正方形数 2 (, 4 )N nn 五边形数 2 31 ( ,5) 22 N nnn 六边形数 2 (, 6 )2N nnn , 可以推测( , )N n k的表达式，由此计算(10,24)N。 三、解答题 （本大题共6 小题，共75 分） 16已知等差数列 n a 的公差为2，其前 n 项和 2 2 () n Spnn nN 。 （1）求 p 的值及 n a； （2）若 2 (21) n n b na ，记数列 n b的前 n 项和为 n T，求使 9 10 n T成立的最小正整数n 的值。 11 题12 题 17已知 a，b，c 分别为 ABC三个内角 A，B
7、，C的对边，cos3 sin0aCaCbc。 （1）求 A； （2）若 ABC的面积5 3S，5b，求sinsinBC的值。 18如图 1，在 RtABC中 ，90C ，BC=3，AC=6，D、E分别是 AC，AB上的点，且DEBC，DE=2， 将 ADE沿 DE折起到 A1DE的位置，使 A1CCD，如图 2。 （1）求证： A1C平面 BCDE ； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE所成角的大小； （3）线段 BC是否存在点P，使平面A1DP 与平面 A1BE垂直？请说明理由。 19已知函数( )1 a f x x （其中a是不为0的实数），( )lng xx，设
8、( )( )( )F xf xg x （1）判断函数( )F x在(0,3上的单调性； （2）是否存在实数m，使得函数 2 2 ()2 1 a yfm x 的图象与函数 2 (1)yg x的图象恰好有四个不同的交 点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。 20已知曲线 22 :(5)(2)8()Cm xmymR。 （1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； （2）设 m=4，曲线 C 与 y 轴的交点为A， B（点 A 位于点 B 的上方），直线4ykx与曲线 C交于不同的 两点 M，N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G，求证： A，G，N 三点共线。 21已
9、知函数 ln ( ) x xk f x e （k 为常数， e=2.71828, 是自然对数的底数），曲线( )yfx在点(1 ,(1)f处 的切线与x轴平行。 （1）求 k 的值； （2）求( )f x的单调区间； （3）设 2 ( )()( )g xxx fx，其中( )fx为( )f x的导函数，证明：对任意0 x， 2 ( )1g xe。 绵阳中学2011 级高三第二次月考（2013.12） 一、选择题（本大题共 10 分，每小题5 分，共 50 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C C A D B D C A D D 10. 【解题思路】根据条件知A， 12 ,
10、 ,B P P构成一个矩形 12, AB PB以 12 ,AB AB所在直线为坐标轴建立平面直 角 坐 标 系 ， 设 12 ,ABa ABb， 点O 的 坐 标 为( , )x y则 点P 坐 标 为(, )a b.由 12 1OBOB 得 22 22 ()1, ()1, xay xyb 则 22 22 ()1 ()1 xay ybx 又 由 1 2 OP ， 得 221 ()() 4 xayb则 221 11 4 xy， 即 227 4 xy. 又 22 ()1xay， 得 22222 121xyaaxax，则 2 1y； 同理由 22 ()1xyb，得 2 1x， 理科数学答案 即有 2
11、2 2xy由知 227 2 4 xy， 所以 227 2 2 xy. 2OA,故选 7 2 2 OA,故选 D. 二、解答题（本大题6 小题，每小题5 分，共 25 分） 11. 161612. 4 13. 54 14 . 2 5 5 15. 1000 15. 【命题立意】本题考查观察、推理、归纳等能力，难度较大。 【解题思路】将已知的列表式做如下转化，三角形数： 22 (32)(43) ( ,3) 22 nnnn N n；正方形数 22 (42)(44)2 ( ,4) 22 nnnon N n ；五边形数： 22 (52)(45)3 ( ,5) 22 nnnn N n ；六边形数： 22 (
12、62)(46)42 ( ,6) 22 nnnn N n；可以推测： 2 (2)(4) ( , ) 2 knk n N n k.所以 2 (2 42 )10(42 4)10 ( 1 024 )10 00 2 N， 16. 解析（ 1）由已知 112 2,44, P aSpS即 122 44,32. p aaap（2 分） 又此等差数列的公差 211 2,=222,1,23aappap， 1 (1)21 n aandn1,21 . n pan（4 分） （2）由（ 1）知 211 , (21)(21)2121 n b nnnn （6 分） 123n +b n Tbbb 11111111 ()()(
13、)() 1335572121nn （8 分） 12 1. 2121 n nn （9 分） 929 ,20189, 102110 n n Tnn n （10 分）即 9 2 n，又nN,使 9 10 n T成立的最小整数n的值为 5.(12 分) 17. 解： （）由cos3 sin0aCaCbc及正弦定理得 sincos3sinsinsinsin0.ACACBC因为,BAC 所以3sinsincossinsin=0ACACC由于sin0C，所以 1 sin() 62 A. 又0A,故. 3 A（5 分） ()由 1133 sin=5 3 2224 SbcAbcbc，得20.bc 又5,b知4c
14、由余弦定理得 222 2cos25162021,abcbcA故21a. 又由正弦定理得 2 2 2035 sinsinsinsinsin. 2147 bcbc BCAAA aaa （12 分） 18. 解:( )证明：因为,/,ACBC DCBC所以.DEAC所以 1 ,.DEA D DECD 所以DE平面 1 A DC,所以 1 DEAC又因为 1 ACCD,所以 1 AC平面 BCDE （3 分） ()如图，以 C为坐标原点，建立空间直角坐标系,Cxyz 则 1(0 0,2 3),(0),(0),(3 0 0),(2 20).ADMBE，2，0，1, 3， 设平面 1 A BE的法向量为(
15、 , , ),nx y z 则 1 0,0.n A Bn BE又 1 (3 03)A B，-2,( 1,2,0)BE, 所以 32 30, 20. xz xy 令1y， 则2 ,3 .xz所以(2,1, 3).n设 CM 与平面 1 A BE所成的角为因为 (01, 3),CM， 所以 42 sincos( ,). 2 84 n CM n CM n CM 所以CM与平面 1 ABE所成的角大 小为 4 .（7 分） （）线段BC上不存在点P，使平面 1 A DP与平面 1 A BE垂直，理由如下： 假设这样的点P存在，设其坐标为( ,0,0)p，其中0,3 .p设平面 1 A DP的法向量 1
16、11 (,)mx yz， 则 1 0,0.m A Dm DP又 1 (0 23),(, 2,0)A DDPp，-2所 以 11 11 22 30, 20, yz pxy 令 1 2x， 则 11 , 3 p yp z，所以(2,) 3 p mp.平面 1 A DP平面 1 A BE,当且仅当0m n，即40pp，解得 2p，与0,3p矛盾 .所以线段BC上不存在点P，使平面 1 A DP与平面 1 A BE垂直 .（12 分） 19. 解： （）( )1ln a F xx x ，于是 2 ( ). xa Fx x 当0a时，( )0Fx，( )F x在 （0,3） 上是增函数；当03a时，(0, )xa时，( )0Fx，( )F x 在（0,a） 上是减函数；( ,3)xa时，( )0Fx，( )F x在（a，3）上是增函数；当3a时，( )0Fx， ( )F x在（ 0,3）上是减函数,5 分 （）由已知得 2 2 2 ()2(1) 1 a fmg x x ，代入整理得 2 211 l
