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1、第 1 页 共 5 页 数学试卷 北京市 2012年春季普通高中会考（新课程） 第一部分选择题（每小题3 分，共 60 分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合0,1,2M，1,4B，那么集合AB等于（） （A）1（B）4（C）2,3（D）1,2,3, 4 2在等比数列 n a中，已知 12 2,4aa，那么 5 a等于 (A)6 (B)8 (C)10 (D)16 3已知向量(3,1),( 2,5)ab，那么2 +a b等于（） A.（ 1,11）B. （4,7）C.（1,6）D（5,4） 4函数 2 log ( +1)yx的定义域是（） (A) 0,(B)
2、(1,+)(C) 1,（）(D)1, 5如果直线30 xy与直线10mxy平行，那么m的值为（） (A) 3(B) 1 3 (C) 1 3 (D) 3 6函数=sinyx的图象可以看做是把函数=sinyx的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原 来的 1 2 倍而得到，那么的值为（） (A) 4 (B) 2 (C) 1 2 (D) 3 7在函数 3 yx，2 x y， 2 logyx，yx中，奇函数的是（） (A) 3 yx(B) 2 x y(C) 2 logyx(D) yx 8 11 sin 6 的值为（） (A) 2 2 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 2 2 9不等式 2
3、3 +20 xx的解集是（） A. 2x x B. 1x x C. 12xx D. 1,2x xx或 10实数lg 4+2lg5 的值为（） (A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 20 11某城市有大型、中型与小型超市共1500 个，它们的个数之比为1：5：9为调查超市每日的零售额情 况，需通过分层抽样抽取30 个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（） (A) 5 (B) 9 (C) 18 (D) 20 12已知平面平面，直线m平面，那么直线m与平面的关系是 ( ) A.直线m在平面内 B.直线m与平面相交但不垂直 C.直线m与平面垂直 D.直线m与平面平行 13在ABC中，3a，
4、2b，1c，那么A的值是（） A 2 B 3 C 4 D 6 14一个几何体的三视图如右图 第 2 页 共 5 页 所示，该几何体的表面积是（） A3B8 C 12D14 15当0 x时， 1 2 2 x x 的最小值是（） A 1 B 2 C22 D 4 16从数字1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字（不允许重复），那么这两个数字的和是奇数的概率为（） A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 17当, x y满足条件 1 0 260 y xy xy 时，目标函数zxy的最小值是（） (A) 2 (B) 2.5(C) 3.5(D)4 18已知函数 2 ,0, ( ) ,0. x x
5、f x xx 如果 0()2f x，那么实数0 x的值为（） A. 4 B. 0 C. 1或 4 D. 1或2 (A) 4 (B) 0 (C) 1 或 4 (D) 1 或 2 19为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造。三年后，城市污水排放量由原来每年排放125 万吨降 到 27 万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（） (A) 50% (B) 40% (C) 30% (D) 20% 20. 在ABC 中， )BCBAACAC 2 | （，那么 ABC的形状一定是（） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 第二部分非选择题（共40 分）李国波录于2
6、012-9-13 一、填空题（共4 个小题，每小题3 分，共 12 分） 21已知向量(2,3),(1,)mab，且ab，那么实数m的值为 22右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况 的茎叶图那么甲、乙两人得分的标准差S 甲 S 乙 （填 ,= ） 23某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的a的最大值为 24 数学选修课中， 同学们进行节能住房设计，在分析气候和民俗后，设计出房屋的剖面图 （如下图所示） 屋 顶所在直线的方程分别是 1 =+3 2 yx和 1 =+5 6 yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m 那么点 A 的 横坐标是 A x(m) O y(m) 屋顶 竖直窗户 是
7、 否 开始 n=1 =15a 输出a n=n+1 n3 结束 第 3 页 共 5 页 二、解答题： （共 4小题，共28 分） 25(本小题满分7 分) 在三棱锥 P-ABC 中，侧棱PA底面 ABC,AB BC,E,F 分别是 BC,PC 的中点 (I)证明： EF平面 PAB; (II) 证明： EFBC 26(本小题满分7 分) 已知向量=(2sin,2sin)xxa，=(cos,sin)xxb，函数( )=+1f xa b (I)如果 1 ( )= 2 f x，求sin4x的值； (II) 如果(0,) 2 x，求( )f x的取值范围 27(本小题满分7 分) 已知图 1 是一个边长
8、为1 的正三角形， 三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三角形， 得到图 2， 再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图 3， 重复这种操作可以得到一系列图形记 第n个图形中所有 剩下的小三角形的面积之和为 n a，所以去掉的 三角形的周长之和为 n b (I) 试求 4 a， 4 b； (II) 试求 n a， n b 28(本小题满分7 分) 已知圆 C 的方程是 22 +2 +=0 xyy m (I) 如果圆 C 与直线=0y没有公共点，求实数m的取值范围； (II) 如果圆 C 过坐标原点，直线l过点 P(0，) (0a2)，且与圆 C 交于 A,B 两点，
9、对于每一个确定的a， 当 ABC 的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含a的代数式表示u，试求u的最大值 第 4 页 共 5 页 参考答案： 1、B 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、A 8、B 9、C 10、A 11、C 12、D 13、B 14、 B 15、B 16、B 17、A 18、 D 19、B 20、C 21、 2 3 ； 22、； 23、45；24、4.5； 25、(I)证明： E,F 分别是 BC,PC 的中点， EFPB EF 平面 PAB, PB 平面 PAB,EF平面 PAB; (II) 证明：在三棱锥P-ABC 中，侧棱PA底面 ABC,PA BC A
10、B BC, 且 PA AB=A, BC平面 PAB PB平面 PAB, BCPB 由（ I）知 EFPB,EFBC 26、 （ I）解：=(2sin,2sin)xxa，=(cos,sin)xxb，( )=+1f xa b 2 =2sincos2sin+1xxx =sin 2cos2xx 1 ( )= 2 f x， 1 in 2cos2 = 2 xx， 1 1+2sin 2 cos2 = 4 xx 1 sin 4 = 4 x (II) 解：由（ I）知( )=sin2cos2f xxx 22 =2(sin 2 +cos2 ) 22 xx =2(sin 2 cos+cos2sin) 44 xx =
11、2sin (2 +) 4 x (0,) 2 x 5 2 + 444 x 2 0m，即1m又圆C 与直线=0y没有公共点，10m 综上，实数m的取值范围是01m (II) 解：圆C 过坐标原点，=0m圆 C 的方程为 22 +1=1xy（），圆心 C（ 0,1） ，半径为 1 当=1a时，直线 l经过圆心 C， ABC 不存在，故0,1)(1,2a 由题意可设直线 l的方程为=+y kx a， ABC 的面积为 S 则 S= 1 2 |CA|CB|sin ACB= 1 2 sinACB 当 sinACB 最大时， S 取得最大值 要使 sinACB= 2 ，只需点C 到直线l的距离等于 2 2
12、即 2 |1|2 = 2 +1 a k 整理得 22 =2(1)10ka解得 2 1 2 a或 2 1+ 2 a 当 22 0,11+,2 22 a时， sin ACB 最大值是1此时 22 =24 +1kaa，即 2 =24 +1uaa 第 5 页 共 5 页 当 22 (1,1)(1,1+) 22 a时， ACB(,) 2 =sinyx是(,) 2 上的减函数，当ACB 最小时， sinACB 最大 过 C 作 CDAB 于 D，则 ACD= 1 2 ACB 当 ACD 最大时， ACB 最小 sinCAD= |CD| |CA =|CD|,且 CAD(0,) 2 ，当 |CD |最大时， sinACD 取得最大值，即CAD 最大 |CD|CP|,当 CPl时， |CD|取得最大值 |CP| 当 ABC 的面积最大时，直线l的斜率=0k=0u 综上所述， 2 22 24 +1,0,11+,2 22 = 22 0, (1,1)(1,1+) 22 aaa u a i） 22 0,11+,2 22 a， 2 =24 +1uaa 2 =2(1)1a,当=2a或=0a时，u取得最大值1 ii） 22 (1,1)(1,1+) 22 a，=0u 由 i） ，ii ）得u的最大值是1 李国波录于2012-09-13
