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1、2012 密云高三一模数学文科第 1 页 共 7 页 2012 年密云县高三模拟考试 数学（文科） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 设集合 2 |1,|1MxxPxx，则下列关系中正确的是 A M=P B.MP=P C.MP=M D.MP=P 2函数cosyx的一个单调递增区间为 A, 22 B0, C 3 , 22 D, 2 3已知向量1,1a，2, nb，若 aba b ，则 n A3 B1 C1 D3 4已知等比数列 n a的前三项依次为1a，1a，4a，则 n a A 3 4 2 n B 2 4 3
2、n C 1 3 4 2 n D 1 2 4 3 n 5抛物线 2 4yx上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标 x A1 B 2 C3 D4 6如图 1 所示，是关于闰年的流程，则以下年份是 闰年的为 A2012 年 B2010 年 C2100 年 D1998 年 7设变量x ，y满足约束条件 2, , 2 x yx xy 则目标函数2zxy的最小值为 A6 B4 C3 D2 8给出定义：若 2 1 2 1 mxm（其中m为整数），则 m 叫做离实数x 最近的整数，记作x = m. 在此 基础上给出下列关于函数xxxf)(的四个命题： 函数 y=)(xf的定义域为R，值域为 2 1 ,0；
3、2012 密云高三一模数学文科第 2 页 共 7 页 函数 y=)(xf的图像关于直线 2 k x（Zk）对称； 函数 y=)(xf是周期函数，最小正周期为1； 函数 y= )(xf 在 2 1 , 2 1 上是增函数 . 其中正确的命题的个数为 A 1 B.2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，满分 30 分 9某校对全校男女学生共1600 名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200 的样本已知女生抽 了 95 人，则该校的女生人数应是人 10设复数z满足i2iz，则z . 11已知双曲线 22 1 4 xy m 的离心率为2，则实数 m 12如图 2
4、所示，函数)( xfy的图象在点P处的切线方程是 8xy，则5f，5f 13已知，是平面， m ， n 是直线，给出下列命题 若m，m，则 若 m， n，m，n，则 如果mnm,、n是异面直线，那么与n相交 若m， n m ，且nn,，则 n 且 n 其中正确命题的有 .（填命题序号） 14规定 一种运 算： bab baa ba , , ，例如：12=1， 32=2，则 函数xxxfcossin)(的值域 为 . 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 15 （本小题满分12 分） 在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知2a，3c
5、， 1 cos 4 B （I ）求b的值； （II ）求sin C的值 16 （本小题满分13 分） 某高校在2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取100 名学生的笔试成绩，按成绩分组： 第 1 组75 ，80) ， 第 2 组80 ，85) ，第 3 组85 ，90) ，第 4 组90 ，95) ，第 5 组95 ，100 ，得到的频率分布直方图如图所示 () 分别求第3，4，5 组的频率； () 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6 名学生进入第二轮面试，求第3，4， 图 2 O x y P 8yx 5 2012 密云高三一模数学文科第 3 页 共 7 页 7
6、5 80 85 90 95 100 分数 频率 组距 0.01 0.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? () 在( )的前提下， 学校决定在这6 名学生中随机抽取2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学 生被甲考官面试的概率 17 （本小题满分14 分） 如图，在长方体 1111 DCBAABCD中，点E在棱 1 C C的延长线上，且1 2 1 11 ABBCECCC ( ) 求证： 1 D E/ 平面 1 AC B； ( ) 求证：平面 11 D B E平面 1 D C B； （）求四面体 ACBD 11 的体积 1
7、8 （本小题满分14 分） 设函数 3221 ()231,01. 3 fxxaxa xa （I ）求函数)( xf的极大值； （II ）若1,1xaa 时，恒有()afxa成立（其中fx是函数fx的导函数），试确定实 数a的取值范围 19 （本小题满分14 分） 已知曲线上任意一点P到两个定点 1 3, 0F和 2 3, 0F的距离之和为4 （I ）求曲线的方程； （II ）设过0,2的直线l与曲线交于C、D两点，且0OCOD（O为坐标原点） ，求直线l的方 程 20 （本小题满分13 分） 已知数列 n a中， 1 2a， 2 3a，其前 n 项和 n S满足 11 21 nnn SSS（2
8、n， * nN） B E A D C 1 A 1 B 1 C 1 D 2012 密云高三一模数学文科第 4 页 共 7 页 （I ）求数列 n a的通项公式； （II ）设 1 4(1)2( n ann n b为非零整数， * nN ） ，试确定的值，使得对任意 * nN ，都 有 nnbb1 成立 2012 年密云县高三模拟测试 数学（文科）试题 参考答案 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B D D C B A C C 二、填空题 9 760 10. 12i 11 12 12 3 ； 1 13. 14 2 1, 2 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字
9、说明、证明过程和演算步骤 15 （本小题满分12 分） 解： （ I ）由余弦定理， 222 2cosbacacB，2 分 得 222 1 2322310 4 b，4 分 10b6 分 （ II ）方法 1：由余弦定理，得 222 cos 2 abc C ab ，8 分 410910 8 2210 ，10 分 C是ABC的内角， 236 sin1cos 8 CC12 分 方法 2： 1 cos 4 B，且B是ABC的内角， 2 15 sin1cos 4 BB8 分 根据正弦定理， sinsin bc BC ，10 分 2012 密云高三一模数学文科第 5 页 共 7 页 得 15 3 sin3
10、6 4 sin 810 cB C b 12 分 16解： ( ) 由题意，第3组的频率为0.0650.3， 第4组的频率为0.0450.2， 第5组的频率为0.0250.13 分 () 第3组的人数为0.310030， 第4组的人数为0.210020， 第5组的人数为0.110010 因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人 数分别为： 第3组： 30 63 60 ， 第4组： 20 62 60 ， 第5组： 10 61 60 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人8 分 ( ) 设第3组的3名学生为 1 A， 2 A， 3 A， 第
11、4组的2名 学生为 1 B， 2 B， 第5组的1名学生为 1 C 则从六名学生中抽两名学生有： 1213111211 (,), (,), (,), (,), (,),AAAAABABAC 23212221 (,), (,), (,), (,),AAABABAC 313231 (,), (,), (,),ABABAC 1211 (,), (,),BBBC 21 (,),BC共1 5种可能 其中第4组的2名学生为 1 B， 2 B至少有一名学生入选的有： 11122122 (,), (,), (,), (,),ABABABAB 3112321121 (,), (,), (,), (,), (,)
12、,ABBBABBCBC共9种可能， 所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 93 155 13 分 17解：（）证明：连 1 AD EBBCAD 111 / 四边形 11ED AB是平行四边形 2 分 则 11 / ABED 又 1 AB平面CAB1 ，ED 1 平面CAB 1 E D C 1 A 1 B 1 C 1 D 2012 密云高三一模数学文科第 6 页 共 7 页 1 D E/ 平面 1 AC B 5 分 （）由已知得 22 1 2 1 4CEEBCB 则CBEB 11 6 分 由长方体的特征可知：CD平面BCEB 1 而EB1平面BCEB1，则EBCD 1 9 分 EB1 平
13、面 1 D C B 又 EB1 平面 11 D B E 平面 11 D B E 平面 1 D C B 10 分 （）四面体D1B1AC的体积 1 1111 DCBAABCD V 111 DBAA V 1 ACBB V 111 DCBC V 1 ACDD V 3 2 421 2 1 1 3 1 2 14 分 18 （本小题满分14 分） 解： （ I ） 22 34)(aaxxxf，且0 1a，1 分 当0)( xf时，得axa3；当0)( xf时，得axax3或； )( xf 的单调递增区间为 (,3)aa ； )( xf 的单调递减区间为 ),(a 和 ),3(a 3 分 故当3xa时，)(
14、 xf有极大值，其极大值为31fa 4 分 （II ） 2 222 432fxxaxaxaa， 当 1 0 3 a时，12aa，()fx在区间1,1aa内是单调递减6 分 2 maxmin 861,21fxfaaafxfaa（ ）1-（ ）1+ ()afxa， 2 861, 21. aaa aa 此时，a9 分 当 1 1 3 a时， 2 max 2fxfaa（ ） ()afxa， 2 2 , 21, 861. aa aa aaa 即 01, 1 , 3 717717 . 1616 a a a 11 分 此时， 1717 316 a13 分 综上可知，实数a 的取值范围为 1717 , 316
15、 14 分 19 （本小题满分14 分） 解： （ I ）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，1 分 其中 2a ， 3c ，则 22 1bac2 分 2012 密云高三一模数学文科第 7 页 共 7 页 所以动点M的轨迹方程为 2 2 1 4 x y4 分 （2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意5 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx，设 11 (,)Cxy， 22 (,)Dxy， 0OCOD， 1212 0 x xy y7 分 11 2ykx ， 22 2ykx ， 2 121212 2()4y yk xxk xx 2 1212 (1)2()40kx xk xx9 分
16、由方程组 2 2 1, 4 2. x y ykx 得 22 1416120kxkx 11 分 则 12 2 16 14 k xx k ， 12 2 12 14 xx k ，代入，得 2 22 1216 1240 1414 k kk kk 即 2 4k，解得， 2k或2k13 分 所以，直线l的方程是22yx或22yx14 分 20 （本小题满分13 分） 解： （ I ）由已知， 11 1 nnnn SSSS（2n， * nN） ， 2 分 即 1 1 nn aa（2n， * nN） ，且 21 1aa 数列 n a是以 1 2a为首项，公差为1 的等差数列1 n an 4 分 （II ）1 n an， 11 4(1)2 nnn n b，
