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1、2013 北京高考理科试题第 1 页 共 7 页 2013 北京高考理科数学试题 第一部分（选择题共 40 分） 一、 选择题共8 小题。每小题5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的一项。 1.已知集合A= 1，0， 1 ，B= x|1x1，则 A B= ( ) A.0 B. 1，0 C.0 ，1 D. 1,0,1 2.在复平面内，复数(2i) 2 对应的点位于 ( ) A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 3. “ =”是“ 曲线 y=sin(2 x) 过坐标原点的 ” A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充
2、分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A.1 B. 2 3 C. 13 21 D. 610 987 5.函数 f(x)的图象向右平移1 个单位长度，所得 图象与 y=ex关于 y 轴对称，则f(x)= A. 1 e x B. 1 e x C. 1 e x D. 1 e x 6.若双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为3，则其渐近线方程为 A.y= 2xB.y=2xC. 1 2 yxD. 2 2 yx 7.直线 l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则l 与 C 所围成的图形的面积等于 A. 4 3 B.2 C. 8 3 D. 16 2 3 8.设关
3、于 x,y的不等式组 210, 0, 0 xy xm ym 表示的平面区域内存在点P(x0， y0)， 满足 x02y0=2， 求得 m 的取值范围是 A. 4 , 3 B. 1 , 3 C. 2 , 3 D. 5 , 3 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题共6题，每小题5 分，共 30 分 . 9.在极坐标系中，点(2， 6 )到直线 sin =2 的距离等于. 10.若等比数列 an满足 a2a4=20， a3a5=40， 则公比 q= ； 前 n 项和 Sn= . 11.如图， AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若 PA=3， 916PDDB
4、：，则 PD= ；AB= . 开始 是 否 0,1iS 2 1 21 S S S 1ii 2i 输出S 结束 2013 北京高考理科试题第 2 页 共 7 页 12.将序号分别为1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张，如果分给同 一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是. 13.向量 a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若 c= a b ( ， R)，则= . 14.如图，在棱长为2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上， 点 P 到直线 CC1的距离的最小值为. 三、解答题共6小题，共80 分。解答应写出文
5、字说明，演算步骤或证明过程 15. (本小题共 13 分) 在 ABC 中， a=3，b=26， B=2A. (I)求 cosA 的值； (II) 求 c 的值 . 16.( 本小题共13 分) 下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量 优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染，某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市，并停留2 天. 1 D 1 B P D 1 C C E B A 1 A b c a 2013 北京高考理科试题第 3 页 共 7 页 （）求此人到达当日空气重度污染的概率; （）设 X 是此人
6、停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望; （）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17. (本小题共 14 分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC平面 AA1C1C， AB=3 ，BC=5. （）求证： AA1平面 ABC； （）求二面角A1BC1B1的余弦值； （）证明：在线段BC1存在点 D，使得 ADA1B，并求 1 BD BC 的值 . 18. (本小题共 13 分) 设 L 为曲线 C： ln x y x 在点 (1，0)处的切线 . (I)求 L 的方程； (II) 证明：除切点
7、(1，0)之外，曲线C 在直线 L 的下方 . 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W： 2 2 1 4 x y上的三个点，O 是坐标原点 . (I)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; (II) 当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知 an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为An，第 n 项之后各项 1n a， 2n a,的最小值记为Bn，dn=AnBn 。 2013 北京高考理科试题第 4 页 共 7 页 (I)若 an为 2， 1，4
8、， 3， 2，1，4， 3， ，是一个周期为4 的数列 (即对任意nN *， 4nn aa)， 写出 d1，d2，d3，d4的值； (II) 设 d 为非负整数， 证明：dn=d(n=1,2,3 )的充分必要条件为an为公差为 d 的等差数列； (III) 证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3， ) ，则 an的项只能是1 或者 2，且有无穷多项为1. 2013 北京高考理科数学试题 参考答案 一、 选择题： 1、B；2、D； 3、A；4、C；5、D；6、B；7、C；8、C（排除法：把 1 3 m代入不等式组， 不适合，排除选项A，把 2 3 m代入不等式组，不适合，排除选项B，把 5
9、3 m代入不 等式组，适合，排除选项D，故选 C） ； 二、填空题： 9、1；10、2， 1 22 n ；11、 9 5 ,4；12、96；13、4；14、 2 5 5 (建立BACB1空间直 角坐标系， 设 1( 0, 1 )E PE D,则得 P(2 ,1,2),设 P 在 CC1上的垂足为 Q，则得 Q(0,2,2),所以 22 2 5 |4(1) 5 PQ)； 三、解答题： 15、 解：（I） 因为 a=3， b=26， B=2A. 所以在 ABC 中， 由正弦定理得 32 6 sinsin2AA . 所以 2sincos2 6 sin3 AA A .故 6 cos 3 A. (II)
10、 由 （ I ） 知 6 c o s 3 A， 所 以 2 3 s i n1co s 3 AA.又 因 为 B=2A, 所 以 2 1 c o s2 c o s1 3 BA.所以 2 2 2 sin1cos 3 BB. 在 ABC 中， 5 3 sinsin()sincoscossin 9 CABABAB. 所以 sin 5 sin aC c A . 16、解：设 i A表示事件 “ 此人于 3 月i日到达该市 ” （i=1,2，13） . 2013 北京高考理科试题第 5 页 共 7 页 根据题意 , 1 () 13 i P A,且() ij AAij. （I）设 B 为事件 “ 此人到达当
11、日空气重度污染” ，则 58 BAA, 所以 5858 2 ( )()()() 13 P BP AAP AP A. (II) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且 P(X=1)=P(A3A6A7A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= 4 13 , P(X=2)=P(A1A2A12A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= 4 13 , P(X=0)=1P(X=1)P(X=2)= 5 13 , 所以 X 的分布列为： 012 544 131313 X P 故 X 的期望 54412 012 13131313 EX. (III) 从 3 月
12、5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 17、解： （I）因为 AA 1C1C 为正方形，所以AA1 AC. 因为平面 ABC 平面 AA 1C1C,且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1平面 ABC. (II) 由（ I）知 AA1 AC，AA1 AB. 由题知 AB=3 ，BC=5 ，AC=4 ，所以 ABAC. 如 图，以 A 为原点建立空间直角坐标系Axyz,则 B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4， 0，4)， 设平面 A1BC1的法向量为, , )x y zn = (，则 1 11 0 0 A B AC n n ,即 340 40 y
13、z x ， 令3z，则0 x，4y，所以(0,4,3)n =. 同理可得，平面BB1C1的法向量为(3,4,0)m =,所以 16 cos 25 n m n,m |n| m | . 由题知 二面角 A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为 16 25 . (III) 设 D( , , )x y z是直线 BC1 上一点，且 1 BDBC. 所以( ,3, )(4,3,4)x yz.解得 4x，33y，4z. 所以(4 ,33 ,4 )AD . 2013 北京高考理科试题第 6 页 共 7 页 由 1 0AD AB ，即9250.解得 9 25 . 因为 9 0,1 25 ，所以
14、在线段BC1上存在点 D， 使得 AD A1B. 此时， 1 9 25 BD BC . 18、解 : （ I）设 ln ( ) x f x x ，则 2 1ln ( ) x fx x .所以(1)1f.所以 L 的方程为1yx. (II) 令( )1( )g xxf x， 则 除 切 点 之 外 ， 曲 线C在 直 线l的 下 方 等 价 于 ( )0g x(0,1)xx. ( )g x满足(1)0g，且 2 2 1ln ( )1( ) xx gxfx x . 当01x时， 2 10 x，ln0 x，所以( )0g x，故( )g x单调递减； 当1x时， 2 10 x，ln0 x，所以( )
15、0g x，故( )g x单调递增 . 所以，( )(1)0g xg（0,1xx）. 所以除切点之外，曲线C 在直线 L 的下方 . （又解：( )0g x即 ln 10 x x x 变形为 2 ln0 xxx，记 2 ( )lnh xxxx，则 2 121(21)(1) ( )21 xxxx h xx xxx ， 所以当01x时，( )0h x，( )h x在（ 0,1）上单调递减； 当1x时，( )0h x，( )h x在（ 1，+）上单调递增。 所以( )(1)0h xh.） 19、解： （I）椭圆 W： 2 2 1 4 x y的右顶点B 的坐标为（ 2,0）.因为四边形OABC 为菱形，
16、 所以AC与 OB 相互垂直平分. 所以可设A（1，m） ，代入椭圆方程得 21 1 4 m，即 3 2 m. 所以菱形 OABC 的面积是 11 | |22 |3 22 OBACm. (II) 假设四边形OABC 为菱形 . 因为点 B 不是 W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设 AC 的方程为(0,0)ykxm km. 2013 北京高考理科试题第 7 页 共 7 页 由 22 44xy ykxm 消去y并整理得 222 (1 4)8440kxkmxm. 设 A 1,1 ()x y,C 2,2 ()x y，则 12 2 4 214 xxkm k ， 1212 2 2214 yyxxm km k . 所以 AC 的中点为M（ 2 4 14 km k ， 2 14 m k ）. 因为 M 为 AC 和 OB 的交点，所以直线OB 的斜率为 1 4k . 因为 1 ()1 4 k k ，所以 AC 与 O
