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1、绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用） 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费玲珑 3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第 I 卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合1,2,3, 4 ,|2 ,ABx x则AB （A）0（ B ）0,1（C）0, 2（D）0,1,2 2. 复数的 1 1 Z i 模为 （A） 1 2 （B） 2 2 （C）2（D）2 3. 已知点1,3 ,4, 1 ,AB则与向量AB同方向的单位向量为 （A） 34
2、55 ，-（B） 43 55 ，-（C） 3 4 5 5 ，（D） 4 3 5 5 ， 4. 下面是关于公差0d的等差数列 n a的四个命题： 1: p数列 n a是递增数列； 2 :p数列 n na是递增数列； 3: p数列 n a n 是递增数列； 4: p数列3nand是递增数列； 其中的真命题为 （A） 12 ,pp（B） 34 ,pp（C） 23 ,pp（D） 14 ,pp 5. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于 60 分的人数是15 人，则该班的学生人数是 （A）45（
3、B）50（C ）55（ D）60 6. 在ABC，内角,A B C所对的边长分别为, , .a b c 1 sincossincos, 2 aBCcBAb 且ab，则B A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 7. 已知函数 2 ln1931,fxxx则 1 lg 2lg 2 ff A1 B0 C1 D2 8. 执行如图所示的程序框图，若输入8,n则输出的 S A 4 9 B 6 7 C 8 9 D 10 11 9、已知点 3 0,0 ,0,.OAbB a a. 若 ABC为直角三角形，则必有 A 3 ba B 3 1 ba a C 331 0baba a D 331 0baba a 0.02
4、 0.015 0.01 0.005 频率 组距 O 20 40 60 80 100 成绩 /分 否 是 开始 输入n 0,2si in 2 1 1 ss i 2ii 输出 S 结束 10、已知三棱柱 111 ABCA B C的 6 个顶点都在球O的球面上 . 若34ABAC， ,ABAC 1 12AA，则球O的半径为 A 3 17 2 B2 10 C 13 2 D3 10 11、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B 两点， 连接 AF,BF. 若|AB|=10 ，|BF|=8 ， 4 cosABF, 5 则C的离心率为 （A） 3 5
5、 （B） 5 7 （C） 4 5 （D） 6 7 12、已知函数 2222 22,228.fxxaxag xxaxa设 12 max,min, max,Hxfxg xHxfxg xp q表示 , p q中的较大 值，min,p q表示,p q中的较小值，记 1 Hx得最小值为,A 2 Hx得最小值为B, 则 AB （A） 2 216aa（B） 2 216aa（ C）16（D）16 第 II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题- 第 22 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。 第 22 题- 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分 . 1
6、3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 14、 已知等比数列 n a是递增数列， n S是 n a的前n项和 .若 13 aa，是方程 2 540 xx的 两个根，则 6 S . 15、已知 F为双曲线 22 :1 916 xy C的左焦点， P,Q 为C上的点 . 若 PQ的长等于虚轴长的2 倍，点 A（5,0 ）在线段PQ上，则 PQF的周长为 . 16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5 个班级，把每个班级参 加该小组的认为作为样本数据. 已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同， 则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说
7、明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分12 分） 设向量 3 sin ,sin,cos ,sinx,0,. 2 axxbxx （I ）若.ab求x的值； （II ）设函数,fxa b求fx的最大值 . 18 （本小题满分12 分） 如图， AB是圆O的直径， PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点 . （I ）求证：BC平面PAC； （II ）设 Q为 PA的中点。 G为 AOC 的重心，求证：QG 平面 PBC. 19 （本小题满分12 分） 现有 6 道题，其中4 道甲类题， 2 道乙类题，张同学从中任取3 道题解答 . 试求： （I ）所取的2 道题都是甲类题的概率； （II ）所
8、取的2 道题不是同一类题的概率. 20 （本小题满分12 分） 如图， 抛物线 22 12 :4 ,:20 .Cxy Cxpy p点 00 ,Mxy在抛物线 2 C上，过 M作 1 C的切线，切点为A,B(M 为原点O时， A,B 重合于O). 当 0 12x时，切线MA的斜率为 1 2 . （I ）求 P的值； （II ）当 M在 2 C上运动时，求线段AB中点 N的轨迹方程 （A,B 重合于O时，中点为O）. 21 （本小题满分12 分） （I ）证明：当0,1x时， 2 sin; 2 xxx （II ）若不等式 3 2 22 cosx4 2 x axxx对0,1x恒成立，求实数a的取值范
9、围 . 请考生在第22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22 （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲 如图， AB为O直径，直线CD与O相切于 E.AD垂直于 CD于 D,BC垂直于 CD于 C,EF 垂直 AB于 F, 连接 AE,BE. 证明：（ I ）;FEBCEB （II ） 2 .EFAD BC 22 （本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系. 圆 1 C，直线 2 C的极坐 标方程分别为4sin,cos
10、2 2. 4 . （I ）求 1 C与 2 C交点的极坐标； （II ）设 P为 1 C的圆心， Q为 1 C与 2 C交点连线的中点. 已知直线PQ的参数方程为 3 3 1 2 xta b yt (t R为参数 ) ，求,a b的值 . 22 （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲 已知函数,fxxa其中1.a （I ）当=2a时，求不等式44fxx的解集； （II ）已知关于x的不等式|22| 2fxafx的解集为|12xx，求a的值 . 2013 高考数学辽宁卷（文科）解析 参考答案 一选择题 1. 答案 B 解析 由已知| 22Bxx，所以0,1AB，选 B。 2. 答案 B
11、解析 由已知 111 , ( 1)( 1)22 i Zi ii 所以 2 | 2 Z 3 . 答案 A 解析 (3, 4)AB，所以|5AB，这样同方向的单位向量是 134 (,) 555 AB 4 . 答案 D 解析 设 1 (1) n aanddnm，所以 1 P正确；如果312 n an则 2 312 n nann并非递增所以 2 P错；如果若1 n an，则满足已知，但 1 1 n a nn ，是递 减数列，所以 3 P错；34 n anddnm，所以是递增数列， 4 P正确 5 . 答案 B 解析 第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60 分的频率是0.3 ，设班级人
12、数为m，则 15 0.3 m ，50m。 6 . 答案 A 解析 边换角后约去 sin B，得 1 sin() 2 AC，所以 1 sin 2 B，但 B非最大角，所以 6 B。 7. 答案 D 解析 2 ()ln( 193 )1fxxx所以( )()2f xfx， 因为lg 2， 1 lg 2 为相反数， 所以所求值为2. 8 . 答案 A 解析 2 1 1 ss i 的意义在于是对 2 1 1i 求和。因为 2 1111 () 2111iii ，同时注 意2ii，所以所求和为 1111111 ()()() 2133579 = 4 9 9 . 答案 C 解析 若 A为直角，则根据A、B纵坐标
13、相等，所以 3 0ba；若 B为直角，则利用 1 OBAB KK得 3 1 0ba a ，所以选C 10 . 答案 C 解析 由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点 M 。计算 AM=5 2 ，由垂径定理，OM=6 ， 所以半径R= 22513 ( )6 22 11 . 答案 B 解析 由余弦定理，AF=6，所以2 6814a ，又2 10c ，所以 105 147 e 12 . 答案 C 解析 ( )f x顶点坐标为(2, 44)aa，( )g x顶点坐标(2, 412)aa，并且( )f x 与( )g x的顶点都在对方的图象上， 图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以
14、A-B=( 44)( 412)16aa 方法技巧 （1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同 一个自变量取得。 二填空题 13. 答案 1616 解析 直观图是圆柱中去除正四棱柱。V 22 24241616 14 . 答案 63 解析 1313 5,4aaa a由递增， 13 1,4aa，所以 23 1 4 a q a ，2q代入等比 求和公式得 6 63S 15 . 答案 44 解析 |6,|6,FPPAFQQA两式相加，所以并利用双曲线的定义得 |28FPFQ，所以周长为|44FPFQPQ 16 . 答案 10 解析 设五个班级的数据分别为abcde。由平均数方
15、差的公式得 7 5 abcde ， 22222 (7)(7)(7)(7)(7) 4 5 abcde ， 显然各个括号为整数。 设7,7,7,7,7abcde分别为, , , ,p q r s t，( , , , ,)p q r s tZ，则 22222 0(1) 20(2) pqrst pqrst 。设 2222 ( )()()()()f xxpxqxrxs= 22222 42()()xpqrs xpqrs= 22 4220 xtxt，由已知( )0fx，由判 别式0得4t，所以3t，所以10e. 三解答题 17解： （）由 2222 |( 3 sin )(sin)4sinxxxa， 222 |(cos )(sin)1xxb. 及| |ab，得 2 4sin1x，又0, 2 x，从而 1 sin 2 x，所以 6 x. （） 2 ( )3 sincossinf xxxxa b 31 sin 2cos2 22 xx 1 2 1 sin(2) 62 x, 当 3 x0, 2 时，sin(2) 6 x取最大值1，所以( )f x的最大值为 3 2 . 18. 解： （）由AB是圆O的直径，得ACBC，由PA平面 ABC ，BC平面 ABC,得 PA BC,又 PA AC=A,PA平面 PAC, AC平面 PA
