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1、绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供文科考生使用) 乐享玲珑,为中国数学增光添彩! 免费玲珑 3D 画板,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用 第 I 卷 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合1,2,3, 4 ,|2 ,ABx x则AB (A)0( B )0,1(C)0, 2(D)0,1,2 2. 复数的 1 1 Z i 模为 (A) 1 2 (B) 2 2 (C)2(D)2 3. 已知点1,3 ,4, 1 ,AB则与向量AB同方向的单位向量为 (A) 34
2、55 ,-(B) 43 55 ,-(C) 3 4 5 5 ,(D) 4 3 5 5 , 4. 下面是关于公差0d的等差数列 n a的四个命题: 1: p数列 n a是递增数列; 2 :p数列 n na是递增数列; 3: p数列 n a n 是递增数列; 4: p数列3nand是递增数列; 其中的真命题为 (A) 12 ,pp(B) 34 ,pp(C) 23 ,pp(D) 14 ,pp 5. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于 60 分的人数是15 人,则该班的学生人数是 (A)45(
3、B)50(C )55( D)60 6. 在ABC,内角,A B C所对的边长分别为, , .a b c 1 sincossincos, 2 aBCcBAb 且ab,则B A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 7. 已知函数 2 ln1931,fxxx则 1 lg 2lg 2 ff A1 B0 C1 D2 8. 执行如图所示的程序框图,若输入8,n则输出的 S A 4 9 B 6 7 C 8 9 D 10 11 9、已知点 3 0,0 ,0,.OAbB a a. 若 ABC为直角三角形,则必有 A 3 ba B 3 1 ba a C 331 0baba a D 331 0baba a 0.02
4、 0.015 0.01 0.005 频率 组距 O 20 40 60 80 100 成绩 /分 否 是 开始 输入n 0,2si in 2 1 1 ss i 2ii 输出 S 结束 10、已知三棱柱 111 ABCA B C的 6 个顶点都在球O的球面上 . 若34ABAC, ,ABAC 1 12AA,则球O的半径为 A 3 17 2 B2 10 C 13 2 D3 10 11、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B 两点, 连接 AF,BF. 若|AB|=10 ,|BF|=8 , 4 cosABF, 5 则C的离心率为 (A) 3 5
5、 (B) 5 7 (C) 4 5 (D) 6 7 12、已知函数 2222 22,228.fxxaxag xxaxa设 12 max,min, max,Hxfxg xHxfxg xp q表示 , p q中的较大 值,min,p q表示,p q中的较小值,记 1 Hx得最小值为,A 2 Hx得最小值为B, 则 AB (A) 2 216aa(B) 2 216aa( C)16(D)16 第 II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题- 第 22 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第 22 题- 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分 . 1
6、3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14、 已知等比数列 n a是递增数列, n S是 n a的前n项和 .若 13 aa,是方程 2 540 xx的 两个根,则 6 S . 15、已知 F为双曲线 22 :1 916 xy C的左焦点, P,Q 为C上的点 . 若 PQ的长等于虚轴长的2 倍,点 A(5,0 )在线段PQ上,则 PQF的周长为 . 16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5 个班级,把每个班级参 加该小组的认为作为样本数据. 已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同, 则样本数据中的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说
7、明、证明过程或演算步骤. 17 (本小题满分12 分) 设向量 3 sin ,sin,cos ,sinx,0,. 2 axxbxx (I )若.ab求x的值; (II )设函数,fxa b求fx的最大值 . 18 (本小题满分12 分) 如图, AB是圆O的直径, PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点 . (I )求证:BC平面PAC; (II )设 Q为 PA的中点。 G为 AOC 的重心,求证:QG 平面 PBC. 19 (本小题满分12 分) 现有 6 道题,其中4 道甲类题, 2 道乙类题,张同学从中任取3 道题解答 . 试求: (I )所取的2 道题都是甲类题的概率; (II )所
8、取的2 道题不是同一类题的概率. 20 (本小题满分12 分) 如图, 抛物线 22 12 :4 ,:20 .Cxy Cxpy p点 00 ,Mxy在抛物线 2 C上,过 M作 1 C的切线,切点为A,B(M 为原点O时, A,B 重合于O). 当 0 12x时,切线MA的斜率为 1 2 . (I )求 P的值; (II )当 M在 2 C上运动时,求线段AB中点 N的轨迹方程 (A,B 重合于O时,中点为O). 21 (本小题满分12 分) (I )证明:当0,1x时, 2 sin; 2 xxx (II )若不等式 3 2 22 cosx4 2 x axxx对0,1x恒成立,求实数a的取值范
9、围 . 请考生在第22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22 (本小题满分10 分)选修4-1 :几何证明选讲 如图, AB为O直径,直线CD与O相切于 E.AD垂直于 CD于 D,BC垂直于 CD于 C,EF 垂直 AB于 F, 连接 AE,BE. 证明:( I );FEBCEB (II ) 2 .EFAD BC 22 (本小题满分10 分)选修4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系. 圆 1 C,直线 2 C的极坐 标方程分别为4sin,cos
10、2 2. 4 . (I )求 1 C与 2 C交点的极坐标; (II )设 P为 1 C的圆心, Q为 1 C与 2 C交点连线的中点. 已知直线PQ的参数方程为 3 3 1 2 xta b yt (t R为参数 ) ,求,a b的值 . 22 (本小题满分10 分)选修4-5 :不等式选讲 已知函数,fxxa其中1.a (I )当=2a时,求不等式44fxx的解集; (II )已知关于x的不等式|22| 2fxafx的解集为|12xx,求a的值 . 2013 高考数学辽宁卷(文科)解析 参考答案 一选择题 1. 答案 B 解析 由已知| 22Bxx,所以0,1AB,选 B。 2. 答案 B
11、解析 由已知 111 , ( 1)( 1)22 i Zi ii 所以 2 | 2 Z 3 . 答案 A 解析 (3, 4)AB,所以|5AB,这样同方向的单位向量是 134 (,) 555 AB 4 . 答案 D 解析 设 1 (1) n aanddnm,所以 1 P正确;如果312 n an则 2 312 n nann并非递增所以 2 P错;如果若1 n an,则满足已知,但 1 1 n a nn ,是递 减数列,所以 3 P错;34 n anddnm,所以是递增数列, 4 P正确 5 . 答案 B 解析 第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2,所以低于60 分的频率是0.3 ,设班级人
12、数为m,则 15 0.3 m ,50m。 6 . 答案 A 解析 边换角后约去 sin B,得 1 sin() 2 AC,所以 1 sin 2 B,但 B非最大角,所以 6 B。 7. 答案 D 解析 2 ()ln( 193 )1fxxx所以( )()2f xfx, 因为lg 2, 1 lg 2 为相反数, 所以所求值为2. 8 . 答案 A 解析 2 1 1 ss i 的意义在于是对 2 1 1i 求和。因为 2 1111 () 2111iii ,同时注 意2ii,所以所求和为 1111111 ()()() 2133579 = 4 9 9 . 答案 C 解析 若 A为直角,则根据A、B纵坐标
13、相等,所以 3 0ba;若 B为直角,则利用 1 OBAB KK得 3 1 0ba a ,所以选C 10 . 答案 C 解析 由球心作面ABC的垂线,则垂足为BC中点 M 。计算 AM=5 2 ,由垂径定理,OM=6 , 所以半径R= 22513 ( )6 22 11 . 答案 B 解析 由余弦定理,AF=6,所以2 6814a ,又2 10c ,所以 105 147 e 12 . 答案 C 解析 ( )f x顶点坐标为(2, 44)aa,( )g x顶点坐标(2, 412)aa,并且( )f x 与( )g x的顶点都在对方的图象上, 图象如图, A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以
14、A-B=( 44)( 412)16aa 方法技巧 (1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。(2)并不是A,B在同 一个自变量取得。 二填空题 13. 答案 1616 解析 直观图是圆柱中去除正四棱柱。V 22 24241616 14 . 答案 63 解析 1313 5,4aaa a由递增, 13 1,4aa,所以 23 1 4 a q a ,2q代入等比 求和公式得 6 63S 15 . 答案 44 解析 |6,|6,FPPAFQQA两式相加,所以并利用双曲线的定义得 |28FPFQ,所以周长为|44FPFQPQ 16 . 答案 10 解析 设五个班级的数据分别为abcde。由平均数方
15、差的公式得 7 5 abcde , 22222 (7)(7)(7)(7)(7) 4 5 abcde , 显然各个括号为整数。 设7,7,7,7,7abcde分别为, , , ,p q r s t,( , , , ,)p q r s tZ,则 22222 0(1) 20(2) pqrst pqrst 。设 2222 ( )()()()()f xxpxqxrxs= 22222 42()()xpqrs xpqrs= 22 4220 xtxt,由已知( )0fx,由判 别式0得4t,所以3t,所以10e. 三解答题 17解: ()由 2222 |( 3 sin )(sin)4sinxxxa, 222 |(cos )(sin)1xxb. 及| |ab,得 2 4sin1x,又0, 2 x,从而 1 sin 2 x,所以 6 x. () 2 ( )3 sincossinf xxxxa b 31 sin 2cos2 22 xx 1 2 1 sin(2) 62 x, 当 3 x0, 2 时,sin(2) 6 x取最大值1,所以( )f x的最大值为 3 2 . 18. 解: ()由AB是圆O的直径,得ACBC,由PA平面 ABC ,BC平面 ABC,得 PA BC,又 PA AC=A,PA平面 PAC, AC平面 PA