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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第一部分 ( 共 50 分 ) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分） 1. 设全集为R, 函数 2 ( )1f xx 的定义域为M, 则M R e为 (A) 1,1 (B) (1,1) (C) , 11,)(D) , 1)(1,)( 2. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 3. 设，ab为向量 , 则“ |
2、 |aabb”是“ab”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 4. 某单位有840 名职工 , 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查 , 将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号 , 则抽取的42 人中 , 编号落入区间 481, 720的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 5. 如图 , 在矩形区域ABCD 的 A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区 域 ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常 ). 若在该矩形区域内随 机地选一地
3、点, 则该地点无 信号的概率是 (A) 1 4 (B)1 2 (C) 2 2 (D) 4 6. 设 z1, z 2是复数 , 则下列命题中的假命题是 (A) 若 12 |0zz, 则 12 zz(B) 若 12 zz , 则 12 zz 1 2 D A C B E F 输入 x If x50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*( x-50) End If 输出 y (C) 若| 21 zz, 则 2112 zzzz(D) 若 12 |zz, 则 21 22 zz 7. 设 ABC的内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若coscossinbCcBaA ,
4、则 ABC的形 状为 (A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定 8. 设函数 6 1 , 0 0 . , ( ) , xx f xx xx , 则当 x0 时, ( )ff x表达式的展开式中常数项为 (A) 20 (B) 20 (C) 15 (D) 15 9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2 的内接矩形花园( 阴影部分 ), 则 其边长x ( 单位 m)的取值范围是 40m x 40m (A) 15,20 (B) 12,25 (C) 10,30 (D) 20,30 10. 设 x 表示不大于x的最大整数 , 则对任意实数, x y，
5、 有 (A) x x (B) 2x 2x (C) xy x y (D) xy x y 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分） 11. 双曲线 22 1 16 xy m 的离心率为 5 4 , 则 m等于 . 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 11 2 1 13. 若点 (, x y) 位于曲线|1|yx与 y2 所围成的封闭区域, 则 2xy 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 2 11 22 123 222 1263 2222 124310 , 照此规律 , 第n个等式可为 . 15. ( 考生请注意 : 请在下
6、列三题中任选一题作答, 如果多做 , 则按所做的第一题计分) A. ( 不等式选做题) 已知, ,a b m n均为正数 , 且1ab, 2mn, 则(ambn)(bman) 的最小值为 . B. ( 几何证明选做题) 如图 , 弦 AB与 CD相交于O内一点 E, 过 E作 BC的平行线与AD的延长 线相交于点P. 已知 PD 2DA 2, 则 PE . E D O P A B C C. ( 坐标系与参数方程选做题) 如图 , 以过原点的直线的倾斜角为参数 , 则圆 22 0yxx的 参数方程为 . P O y x 三、解答题 : 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6 小题，共
7、75 分） 16. ( 本小题满分12 分) 已知向量 1 (cos ,),(3sin,cos2 ), 2 xxxxabR, 设函数( )f xab. ( ) 求( )f x的最小正周期 . ( ) 求( )f x在0, 2 上的最大值和最小值. 17. ( 本小题满分12 分) 设 n a是公比为q的等比数列 . ( ) 导 n a的前n项和公式 ; ( ) 设q 1, 证明数列 1 n a不是等比数列 . 18. ( 本小题满分12 分) 如图 , 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O平面 ABCD, 1 2ABAA. ( ) 证明
8、: A 1C平面 BB1D1D; ( ) 求平面 OCB1与平面 BB1D1D的夹角的大小 . O D1 B1 C1 D A C B A1 19. ( 本小题满分12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手 (1 至 5 号) 登台演唱 , 由现场数百名观众投票选出最受欢迎 歌手 . 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手 , 其中观众甲是1号歌手的歌迷 , 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选2 名. 观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选3 名歌手 . ( ) 求观众甲选中3 号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率; ( ) X
9、 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X的分布列和数学期望. 20. ( 本小题满分13 分) 已知动圆过定点A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦MN 的长为 8. ( ) 求动圆圆心的轨迹C的方程 ; ( ) 已知点 B( 1,0), 设不垂直于x 轴的直线l与轨迹 C交于不同的两点P, Q, 若x轴是 PBQ 的角平分线 , 证明直线l过定点 . 21. ( 本小题满分14 分) 已知函数( )e , x f xxR. ( ) 若直线1ykx与( )f x的反函数的图像相切, 求实数k的值 ; ( ) 设0 x, 讨论曲线( )yf x与曲线 2 (0)ymx m公共点的
10、个数. ( ) 设ab, 比较 ( )( ) 2 f af b 与 ( )( )f bf a ba 的大小 , 并说明理由 . 参考答案 一、选择题 1D解：), 1() 1,(,1 , 1.11,0-1 2M R CMxx即, 所以选 D 2C解：31)50(6 .025,60 xyx, 所以选 C 3C解：。cos|baba 若1cos|baba,b/a0，即或的夹角为与则向量ba为真； 相反，若ba /，则|0bababa，即或的夹角为与向量。 所以“ | |aabb”是“ a/ b”的充分必要条件。 另：当ba或向量为零向量时，上述结论也成立。所以选C 4B解：使用系统抽样方法，从84
11、0 人中抽取42 人，即从20 人抽取 1 人。 , 所以从编号1 480 的人中，恰好抽取24 人，接着从编号481720 共 240 人中抽取12 人。故选B 5A解：该地点信号的概率= 42 1 2 12 的面积矩形 的面积扇形的面积扇形 ABCD CBFADE 所以该地点无信号的概率是1 4 。选 A 6D解： 对（ A） ，若 12 |0zz, 则0 21 zz，所以 12zz 为真。 对（ B） ，若 12zz , 则21 zz 和互为共轭复数，所以 12zz 为真。 对（ C） ，设, 222111 ibazibaz若| 21 zz, 则 2 2 2 2 2 1 2 1 baba
12、， 2 2 2 222 2 1 2 111 ,bazzbazz，所以 2112 zzzz 为真 对（ D） ，若, 1 21 izz则 12 |zz为真，而 1, 1 2 2 2 1 zz，所以 21 22 zz为假 选 D 7B解：因为coscossinbCcBaA，所以AABCCBsinsincossincossin 又ACBBCCBsin)sin(cossincossin。联立两式得AAAsinsinsin。 所以 2 , 1sinAA。选 B 8A解：当 66 - 11 -)(0）（）（时，x xx xxffx的展开式中，常数项为 20)(-) 1 ( 333 6 x x C。所以选
13、A 9C解：设矩形高为y, 由三角形相似得: ,30040,40,0,0, 40 40 40 xyyxyx yx ，且利用线性规划知识解得30,10 x，选 C 10D解：代值法。 对 A, 设 x = - 1.8, 则-x = 1, -x = 2, 所以 A选项为假。 对 B, 设 x = - 1.4, 2x = -2.8 = - 3, 2x = - 4, 所以 B选项为假。 对 C, 设 x = y = 1.8, 对 A, x+y = 3.6 = 3, x + y = 2, 所以 C选项为假。 故 D选项为真。所以选D 11 9 解：9 1616 9 4 5 2 2 m m a b a c
14、 12 3 解：立体图为半个圆锥体，底面是半径为1 的半圆，高为2。所以体积 3 21 2 1 3 12 V 13 - 4解：封闭区域为三角形。令| x 1 | = 2 , 解得3, 1 21 xx，所以三角形三个 顶点坐标分别为（1,0, ） ， （-1,2 ） ， （ 3,2 ） ，故 2xy 在点（ -1,2 ）取最小值 - 4 14)1( 2 )1- n1-32-1 1 21-n222 nn n （ ）（ 解：分 n 为奇数、偶数两种情况。第n 个等式为 21-n222 n1-32-1）（。 当 n 为偶数时，分组求和： 2 1)n(n -)1()43()2-1 222222 nn（。
15、 当 n 为奇数时，第n 个等式 = 2 1)n(n 2 1)n(n - 2 n。 综上，第n 个等式：)1( 2 )1- n1-32-1 1 21-n222 nn n （ ）（ 15 （1）2 解：利用柯西不等式求解， 212)()()( 22 bamnbmbnanambmanbnam（, 且仅当 nm bm bn an am 时取最小值 2 （2）.6解： ./BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC且在圆中 .6.623 2 PEPDPAPE PE PD PA PE APEEPD所以 （3） R y x , sincos cos 2 解： 222 ) 2 1 () 2 1 yx（圆的
16、方程 2 1 r圆的半径 sincossin,coscoscos2cos 2 OPyOPxrOP。 所以圆的参数方程为 R y x , sincos cos 2 16解： ( ) ( )f xa b =) 6 2sin(2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 sin3cosxxxxxx。 最小正周期 2 2 T。 所以), 6 2sin()(xxf最小正周期为。 ( ) 上的图像知，在，由标准函数时，当 6 5 , 6 - sin 6 5 , 6 - ) 6 2( 2 , 0 xyxx. 1 , 2 1 ) 2 (), 6 - () 6 2sin()(ffxxf. 所以， f (x) 在0, 2 上的最大值和最小值分别为 2 1 , 1. 17解： ( ) 分两种情况讨论。
