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1、小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共 30 讲多边形的面积我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：正方形面积=边长边长=a 2，长方形面积=长宽=ab ，平行四边形面积=底高=ah ，圆面积=半径半径=r 2，扇形面积=半径半径圆心角的度数360在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。例 1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是 52 厘米，DG=4 厘米，求阴影部分的面积。分析与解：
2、组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了。用组合图形的周长减去 DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是 4 厘米，可求出大正方形边长=（16+4 ）2=10（厘米），小正方形边长= （16-4）2=6（厘米）。两个正方形的面积之和减去三角形 ABD 与三角形 BEF 的面积，就得到阴影部分的面积。10 2+62-（10102）- （10+6）62=38（厘米 2）。例 2 如左下图所示，四边形 ABCD 与 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等。分析与证明：这道题两个平行四边形
3、的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结 CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形 ABCD 中，三角形 DCE 的底是 DC，高与平行四边形 ABCD 边 DC 上的高相等，所以平行四边形 ABCD 的面积是三角形 DCE 的两倍；同理，在平行四边形DEFG 中，三角形 DCE 的底是 DE，高与平行四边形 DEFG 边 DE 上的高相等，所以平行四边形 DEFG 的面积也是三角形 DCE 的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形 DCE 的两倍，所以它们的面积相等。例 3 如左下图所示，一个腰长是 20 厘米的等腰三角形的面积是 14
4、0厘米 2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是 a 厘米和 b 厘米。求 a+b 的长。分析与解：a ，b 与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是 20 厘米，高分别为 a 厘米和 b 厘米（见右上图）。大三角形的面积与 a，b 的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为20a2 和 20b2。因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有20a 2+20b2=140，10（a+b）=140，a+b=14（厘米）。在例 2、例 3 中，通过添加辅助线，使图形间的关
5、系更清晰，从而使问题得解。下面再看一例。例 4 如左下图所示，三角形 ABC 的面积是 10 厘米 2，将AB，BC，CA 分别延长一倍到 D，E ，F ，两两连结 D，E ，F ，得到一个新的三角形 DEF。求三角形 DEF 的面积。分析与解：想办法沟通三角形 ABC 与三角形 DEF 的联系。连结FB（见右上图）。因为 CA=AF，所以三角形 ABC 与三角 ABF 等底等高，面积相等。因为 AB=BD，所以三角形 ABF 与三角形 BDF 等底等高，面积相等。由此得出，三角形 ADF 的面积是 10+10=20（厘米 2）。同理可知，三角形 BDE 与三角形 CEF 的面积都等于 20
6、厘米 2。所以三角形 DEF 的面积等于 203+10=70（厘米 2）。例 5 一个正方形，将它的一边截去 15 厘米，另一边截去 10 厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少 1725 厘米 2，求剩下的长方形的面积。分析与解：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。由左上图知，丙是长 15 厘米、宽 10 厘米的矩形，面积为1510=150（厘米 2）。因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于 10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于（甲+丙） +（乙+丙）=
7、甲+乙+丙）+丙= 1725+150= 1875（厘米 2）。所以原正方形的的边长等于 187525=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于 7575-1725=3900（厘米 2）。例 6 有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是 20，黄色面积是 14，绿色面积是 10，求正方形盒子底部的面积。分析与解：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于（14+10）2=12 。因为绿：红=A黄，所以绿黄=红A，A=绿黄
8、红=12 1220=7.2。正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。 练习 201.等腰直角三角形的面积是 20 厘米 2，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。2.如左下图所示，平行四边形 ABCD 的周长是 75 厘米，以 BC 为底的高是 14 厘米，以 CD 为底的高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。3.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽 2 米的小路，小路的面积是 80 米 2，正方形水池的面积是多少平方米？4.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是 28 厘米 2，梯形的上底长是多
9、少厘米？5.如下图，在三角形 ABC 中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF 的面积是 1，则三角形 ABC 的面积是多少？6.一个长方形的周长是 28 厘米，如果它的长、宽都分别增加 3 厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？7.如下图所示，四边形 ABCD 的面积是 1，将 BA，CB，DC ，AD分别延长一倍到 E，F，G，H，连结 E，F，G，H。问：得到的新四边形 EFGH 的面积是多少？练习 201.10 厘米 2。提示：右图中四个小三角形的面积都相等。2.280 厘米 2。解：14BC=16CD，所以 BCCD=1614=87。因为 BC+CD=7
10、52=37.5，所以平行四边形 ABCD 的面积等于 1420=280（厘米 2）。3.64 米 2。提示：右图中每个小矩形的宽是 2，面积是 804，所以水池的边长是 8042-2=8（米）。4.4 厘米。提示：见左下图。上底=287=4 （厘米）。5.6。提示：如右上图，SACF=SBCF，SBFD=SEFD=SCFE。6.51 厘米 2。解：左下图阴影部分即为增加部分，如右下图重新拼合，所得阴影部分的长为（282+3）厘米，宽为 3 厘米，面积为（282+3）3=51（厘米 2）。7.5。提示：连结 AF 和 AC（见右图）。容易求出SEBF=2SABC。同理可求出SHDG=2SADC。
11、所以 S EBF+SHDG=2SABCD。同理可知 SEAH+SGCF=2SABCD，所以S EFGH=S EBF+S HDG+S EAH+S GCF+S ABCD=5S ABCD=5。三、应用题1、一块三角形地，高是 36 米，底是 18 米，共收小麦 777.6 千克，平均每平方米收小麦多少千克？2、一块平行四边形的麦地，底是 450 米，高是 86 米，这块地共有多少公顷？如果平均每公顷收小麦86000 千克，这块地共收小麦多少千克？3、一块梯形钢板，上底长 0.7 米，下底长 0.8 米，高 1.4 米，如果每平方米钢板重 23.5 千克，这块钢板重多少千克？4、一块红布长 30 米，
12、宽 1.5 米，用它做两条直角边都是 5 分米的直角三角形小旗，可以做多少面？5、有一块三角形菜地，共 0.28 公顷。这块地的底边长 70 米，高是多少米？6、一台收割机的作业宽度为 1.5 米，工作时的牵引速度为每小时 6.4 千米，按这样计算，收割24000 平方米小麦，共需要几小时？7、一个果园的形状是梯形。它的上底是 160 米，一底是 180 米，高是 50 米。如果每棵树占地 10 平方米，这个果园共有果树多少棵？8、科技小组制作飞机模型，机翼的平面图是由两个完全相同的梯形组成的。这个梯形的上底是 48 毫米，下底是 100 毫米，高是 250 毫米。这个机翼的面积是多少？9、华光农场有一块 1.4 公顷的稻田。去年早稻 12.74 吨，收晚稻 13.72 吨。今年每公顷收水稻 21.5公顷，今年比去年每公顷增产多少公顷？
