《求动点的轨迹方程(方法例题习题)9109-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求动点的轨迹方程(方法例题习题)9109-修订编选（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）求动点的轨迹方程（例题，习题与答案） 在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中 没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形 状类型） 。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与 交轨法 直接法、定义法、相关点法、参数法与 交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法待定系数法” 。 求动点轨迹的常用方法求动点轨迹的常用方法 动点 P 的轨迹方程是指点 P 的坐标（x, y）满足的关系式。 1. 直接法直接法 （1
2、）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题例题 已知直角坐标平面上点Q Q（2， 0） 和圆 C C：， 动点M M到圆 C C 的切线长等与，1 22 yxMQ 求动点M M的轨迹方程，说明它表示什么曲线 解：设动点 M(x,y)，直线MN切圆C于N。 依题意：，即MNMQ 22 MNMQ 而,所以 222 NOMOMN 1 22 MOMQ (x-2) +y =x +y -1 2222 化简得：x=。动点 M 的轨迹是一条直线。 4 5 2. 定义法定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点 的
3、轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出 轨迹方程。 例题：例题：动圆 M 过定点 P（4，0） ，且与圆 C：相切，求动圆圆心 M 的轨迹08 22 xyx 方程。 解：设 M(x,y)，动圆的半径为 r。 若圆 M 与圆 C 相外切，则有 MC=r4 若圆 M 与圆 C 相内切，则有 MC=r-4 而MP=r, 所以 MC-MP=4 动点 M 到两定点 P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为 4，所以动点 M 的轨迹为双曲线。其中 a=2, c=4。 动点的轨迹方程为： 1 124 22 yx 3. 相关点法相关点法 若动点P(x，y)随已知
4、曲线上的点Q(x，y )的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则 0000 将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。 例题：例题：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆上运动,求线段 AB 22 :(1)4Cxy 的中点 M 的轨迹方程。 解：解：设 M(x,y), A(),依题意有： BA yx , x=, y= 2 4 A x 2 3 A y 则：x=2x-4, y=2y-3, 因为点 A()在圆上，所以 AABA yx , 22 :(1)4Cxy 4)32()42( 22 yx 点 M 的轨迹方程为： 1)()2( 2 2 3
5、2 yx 动点 M 的轨迹为以（2,）为圆心，1 为半径的圆。 2 3 4. 参数法参数法 例题：例题：已知定点 A（-3,0） ，M、N 分别为 x 轴、y 轴上的动点（M、N 不重合） ，且,MNAN 点 P 在直线 MN 上，。求动点 P 的轨迹 C 的方程。MPNP 2 3 解：解：设 N(0,t), P(x,y) 直线 AN 的斜率， 3 t kAM 因为，所以直线 MN 的斜率MNAN t kMN 3 直线 MN 的方程为 y-t=,令 y=0 得 x=,所以点 M(,0)x t 3 3 2 t 3 2 t , ),(tyxNP), 3 ( 2 y t xMP 由, 得MPNP 2
6、 3 x=), y-t=,则 3 ( 2 3 2 t x y 2 3 ty tx 2 2 所以动点 P 的轨迹方程为：xy4 2 5. 交轨法交轨法 例题：例题：如图，在矩形ABCD中，8,4, ,ABBCE F G H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设 。求直线EP与GQ的交点M的轨迹的方程。)0(,CFCQOFOP 解：设( , )M x y，由已知得(4 ,0),(4,22 )PQ， 则直线EP的方程为2 2 x y ，直线GQ的方程为2 2 x y ， 即y+2= 2 x y-2= - 2 x 两式相乘，消去即得M的轨迹的方程为 22 1(0) 164 xy x 练习与答案练习与答案
7、 1. 设圆 C 与圆 x2+（y.3）2=1 外切，与直线 y =0 相切，则 C 的圆心轨迹为A A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆 2. 已知圆，圆，一动圆与这两个圆外 22 1:( 4)25Mxy 22 2:( 4)1Mxy 切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 (x0) 3. 过点 A(4，0)作圆 Ox +y2=4 的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹。 2 (x-2) +y =4 (0 x1) 22 4. 已知圆 C：+(y-4) =1, 动点 P 是圆外一点，过 P 作圆 C 的切线，切点为 M， 2 )3( x 2 且PM=PO（O 为坐标原点） 。求动点 P 的轨迹方程。
8、提示：PO =PM = 22 1 2 PC 3x+4y-12=0 5. 已知圆 22 1:( 4)1Cxy，圆 22 2: (2)1Cxy，动点P到圆 1 C, 2 C上点的距离的最 小值相等.求点P的轨迹方程。 解：解：动点 P 到圆 C 的最短距离为PC -1, 11 动点 P 到圆 C 的最短距离为PC -1, 22 依题意有：PC -1=PC -1，即 12 PC =PC 12 所以动点 P 的轨迹为线段 C C 的中垂线。所以动点 P 的轨迹方程为： 12 2x+y-5=0 6.6. 已知双曲线的左、右顶点分别为, 点 P（） ，Q（） 2 2 1 2 x y 12 ,A A 12
9、,x y 12 ,xy 是双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹 E 的方程。 1 AP 2 A Q 解：由为双曲线的左右顶点知， 12 ,A A 12 (2,0), ( 2,0),AA ，两式相乘， 1 1 1 :(2) 2 y AP yx x 1 2 1 :(2) 2 y A Q yx x 2 22 1 2 1 (2) 2 y yx x 因为点在双曲线上，所以，即，故， 11 ( ,)P x y 2 2 1 1 1 2 x y 2 1 2 1 1 22 y x 22 1 (2) 2 yx 所以，即直线与交点的轨迹的方程为 2 2 1 2 x y 1 A P 2 A QE 2 2 1 2
10、 x y 7. 已知曲线与直线交于两点和，且 2 :C yx:20l xy(,) AA A xy(,) BB B xy AB xx 记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点CABLABD 是上的任一点，且点与点和点均不重合若点是线段的中点，试求线( , )P s tLPABQAB 1 124 22 yx 段的中点的轨迹方程。PQM 解：（1）联立与得，则中点，设线段的中 2 xy 2 xy2, 1 BA xxAB) 2 5 , 2 1 (QPQ 点坐标为， 则， 即， 又点在曲线上，M),(yx 2 2 5 , 2 2 1 t y s x 2 5 2, 2 1 2ytxs
11、PC 化简可得， 又点是上的任一点， 且不与点和点 2 ) 2 1 2( 2 5 2xy 8 11 2 xxyPLAB 重合，则，即，中点的轨迹方程为（2 2 1 21x 4 5 4 1 xM 8 11 2 xxy ）. 4 5 4 1 x 8. 已知点 C（1，0） ，点 A、B 是O：上任意两个不同的点，且满足， 22 9xy0BCAC 设 P 为弦 AB 的中点。求点 P 的轨迹 T 的方程。 解：连结 CP，由0AC BC ，知 ACBC |CP|AP|BP| 1 | 2 AB，由垂径定理知 222 |OPAPOA 即 22 |9OPCP 设点 P（x，y） ，有 2222 ()(1)
12、9xyxy 化简，得到 22 4xxy。 9.设椭圆，过点的直线交椭圆于 A、B，O 为坐标原点，点 P 满足1 4 2 2 y x) 1 , 0(Ml ，当 绕着 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程。)( 2 1 OBOAOPl 解：直线 过点，设其斜率为 k，则直线 的方程为，l) 1 , 0(Ml1 kxy 记，由题设可得点 A、B 的坐标),( 11 yxA),( 22 yxB),( 11 yx),( 22 yx 是方程组的解，其方程组中消取得 1 4 1 2 2 y x kxy y032)4( 22 kxxk 2 21 2 21 4 8 4 2 k yy k k xx 点 P 的坐标
13、为 )( 2 1 OBOAOP) 2 , 2 ( 2121 yyxx 即：点 P 为，) 4 4 , 4 ( 22 kk k 设点 P 为，则 P 点的轨迹参数方程为 （为参数）),(yx 2 2 4 4 4 k y k k x k 消去参数得：k04 22 yyx 当斜率不存在时，A、B 的中为原点（0，0）也满足上述方程，k 故：动点 P 的轨迹方程为。04 22 yyx 10.10. 设圆 C 与两圆 2222 (5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程。 解：两圆半径都为 2，设圆C的半径为R，两圆心为、， 1( 5, 0)F 2( 5, 0)
14、 F 由题意得或， 12 | 2 | 2RCFCF 21 | 2 | 2RCFCF ， 1212 | 42 5 |CFCFFF 可知圆心 C 的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则 12 ,F F 22 22 1 xy ab ，所以轨迹 L 的方程为 222 24,2,5,1,1aacbcab 2 2 1 4 x y 11.11. 如图所示，已知 P（4，0）是圆内的一点。A、B 是圆上两动点，且满足36 22 yx ,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 0 90APB 解：解：设 R(x,y), 依题意，有 OR +RA =36,而RA=RP,所以 22 OR +RP =36, 即
15、22 36)4( 2222 yxyx 化简得：14)2( 22 yx 设 Q(X, Y),因为 R(x,y)是 QP 的中点，所以有 x=,y=,故 2 4X 2 Y 14) 2 ()2 2 4 ( 22 YX 化简得：X56 22 Y 12. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点 A，设是 上一点，M 是线段 OPxOy:2l x xPl 的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP。当点 P 在 上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方l 程。 解：解：如图 1，设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 Q， ,| |.MPQAOPMPlMOMP 且 因此即 22 |2|,xyx 2 4(
16、1)(1).yxx 另一种情况，见图 2（即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧） 。 MQ 为线段 OP 的垂直平分线， .MPQMOQ 又,.MPQAOPMOQAOP 因此 M 在轴上，此时，记 M 的坐标为x( ,0).x 为分析的变化范围，设为 上任意点( ,0)M xx中( 2, )Pal().aR 由| |MOMP （即）得， 22 |(2)xxa 2 1 11. 4 xa 故的轨迹方程为( ,0)M x 0,1yx 综合和得，点 M 轨迹 E 的方程为 2 4(1),1, 0,1. xx y x 13. 点 M 是椭圆 2 2 1 4 y x 上的动点。 如图， 点A的坐标为(1,0)，B是圆 22 1xy上的点， N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，=0,求线段QB的ONOMOQQA
