部审湘教版八年级数学下册教案《2.7正方形》

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1、第 1 页 共 7 页 27正方形 1掌握正方形的概念、性质，并会运 用； (重点 ) 2理解正方形与平行四边形、矩形、 菱形的联系和区别；(难点 ) 3掌握正方形的判定条件；(重点 ) 4合理地利用正方形的判定进行有关 的论证和计算(难点 ) 一、情境导入 做一做：用一张长方形的纸片(如图所 示 )折出一个正方形学生在动手过程中对 正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形 的关系问题： 什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 【类型一】利用正方形的性质求线段 长或证明 第 2 页 共 7 页 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC 是对角线， AE 平分 BAC，E

2、FAC 于点 F. (1)求证： BECF； (2)求 BE 的长 解析： (1)由角平分线的性质可得到BE EF，再证明 CEF 为等腰直角三角形， 可证明 BE CF； (2)设 BEx， 在CEF 中可表示出CE， 由 BC1，可列出方程，可求得BE. (1)证明： 四边形ABCD 为正方形， B90，EFAC， EFA90， AE 平分 BAC， BEEF，又 AC 平 分 BCD ， ACB 45，FEC FCE ， EFFC ， BECF； (2)解： 设 BE x，则EFCFx，在 Rt CEF 中，CEEF2CF 2 2x，BC 1， x2x1，解得 x21，即 BE 的长为2

3、1. 方法总结： 矩形被每条对角线分成两个 直角三角形， 被两条对角线分成四个等腰直 角三角形， 因此正方形的计算问题可以转化 到直角三角形和等腰直角三角形中去解决 【类型二】利用正方形的性质求角度 或证明 在正方形ABCD 中，点 F 是边 AB 上一点， 连接 DF ，点 E 为 DF 中点连接BE、 CE、 AE. (1)求证： AEB DEC； (2)当 EBBC 时，求 AFD 的度数 解析：(1)根据正方形的四条边都相等可 得 ABCD，每一个角都是直角可得BAD ADC 90，再根据直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半可得AE EFDE 1 2 DF ， 根 据 等 边 对 等

4、 角 可 得 EAD EDA，再求出 BAE CDE，然后利用 第 3 页 共 7 页 “边角边 ”证明即可； (2)根据全等三角形对应边相等可得EB EC，再求出 BCE 是等边三角形，根据 等边三角形的性质可得EBC 60，然后 求出 ABE30，再根据等腰三角形两底角 相等求出 BAE，然后根据等边对等角可得 AFD BAE. (1)证明：在正方形ABCD 中，ABCD， BAD ADC90，点 E 为 DF 的中 点， AE EF DE 1 2DF ， EAD EDA ， BAE BAD EAD， CDE ADC EDA， BAE CDE ，在 AEB 和 DEC 中， ABCD， B

5、AE CDE， AEDE， AEB DEC(SAS)； (2)解： AEB DEC，EBEC， EBBC， EBBCEC， BCE 是 等边三角形，EBC60， ABE 90 60 30， EBBCAB， BAE 1 2(180 30 ) 75，又 AE EF， AFD BAE75. 方法总结： 正方形是最特殊的平行四边 形，在正方形中进行计算时，要注意计算出 相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些 相等的线段 探究点二：正方形的判定 【类型一】利用 “一组邻边相等的矩 形是正方形 ”判定 已知：如图， 在 RtABC 中， ACB90， CD 为 ACB 的平分线， DEBC 于点 E， D

6、F AC 于点 F. 求证：四边形CEDF 是正方形 解析： 要证四边形CEDF 是正方形， 则 要先证明四边形DECF 是矩形，再证明一组 邻边相等即可 证明： CD 平分 ACB， DEBC， DF AC， DE DF ， DFC 90， DEC90，又 ACB90，四边形 DECF 是矩形， DEDF ，矩形DECF 是正方形 方法总结： 要注意判定一个四边形是正 方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱 第 4 页 共 7 页 形 【类型二】利用 “有一个角是直角的 菱形是正方形”判定 如图，已知在四边形ABFC 中， ACB 90， BC 的垂直平分线EF 交 BC 于点 D， 交 AB

7、 于点 E，且 CFAE； (1)试判断四边形BECF是什么四边 形？并说明理由； (2)当 A 的大小满足什么条件时，四边 形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结 论 解析： (1)根据中垂线的性质：中垂线上 的点到线段两个端点的距离相等，有BE EC，BFFC，又因为 CFAE，可得出 BE ECBFFC，根据四边相等的四边形是 菱形，所以四边形BECF 是菱形； (2)由菱形的性质知， 对角线平分一组对 角，即当 ABC45时， EBF90， 得出 菱形 EBFC 为正方形， 根据直角三角形中两 个锐角互余得A45 . 解： (1)四边形 BECF 是菱形理由如下： EF 垂直平分B

8、C， BFFC，BEEC， 3 1， ACB 90， 3 4 90， 1 290， 2 4， ECAE， BEAE， CFAE， BE ECCFBF，四边形BECF 是菱形； (2)当 A45时，菱形BECF 是正方 形证明：A45， ACB90， CBA 45，EBF 2 CBA 90，菱形BECF 是正方形 方法总结： 正方形的判定方法：先判 定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻 第 5 页 共 7 页 边相等；先判定四边形是菱形，再判定这 个矩形有一个角为直角；还可以先判定四 边形是平行四边形，再用或进行判定 探究点三： 正方形的性质与判定的综合 已知：如图，ABC 中，点 O 是 A

9、C 上的 一动点，过点O 作直线MNBC，设MN 交 BCA 的平分线于点E， 交 BCA 的外角 ACG 的平分线于点F，连接 AE、AF. (1)求证： ECF 90； (2)当点 O 运动到何处时， 四边形 AECF 是矩形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，ABC 应该满足条 件：_，则四边形 AECF 为正方形 (直接添加条件， 无需证明 ) 解析： (1) 由已知CE、 CF 分别平分 BCO 和GCO，可推出 BCEOCE， GCF OCF，所以得 ECF90； (2)由(1)可得出 EO COFO，点 O 运 动到AC 的中点时，则有EOCOFO AO，所以这时四边形AEC

10、F 是矩形； (3)由已知和 (2)得到的结论，点O 运动 到 AC 的中点时， 且ABC 满足 ACB 为直 角的直角三角形时，则推出四边形AECF 是 矩形且对角线垂直，所以四边形AECF 是正 方形 (1)证明： CE 平分 BCO，CF 平分 GCO ， OCE BCE ， OCF GCF， ECF 1 2180 90； (2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时， 四 边形 AECF 是矩形 理由如下： MN BC， OEC BCE ， OFC GCF ，又 CE 平分 BCO，CF 平分 GCO， OCE BCE， OCF GCF， OCE OEC， OCF OFC， EOCO，

11、FOCO， OEOF.又当点 O 运动到 AC 的中点时， AO CO，四边形AECF 是平 行四边形， ECF90， 四边形AECF 是矩形； (3)解：当点 O 运动到 AC 的中点时， 且 满足 ACB 为直角时， 四边形 AECF 是正方 形 由 (2)知， 当点 O 运动到 AC 的中点时， 四边形AECF 是矩形，已知MNBC，当 ACB90，则 AOF COE COF AOE 90，即AC EF ，四边形 AECF 是正方形 故答案为： ACB 为直角 方法总结： 此题考查的是正方形和矩形 的判定，角平分线的定义，平行线的性质， 第 6 页 共 7 页 等腰三角形的判定等知识解题

12、的关键是由 已知得出EOFO，确定 (2)(3)的条件 如图，AE 是正方形ABCD 中 BAC 的平分 线， AE 分别交 BD、BC 于 F、E，AC、BD 相交于 O.求证： (1)BEBF； (2)OF 1 2CE. 解析： (1) 根据正方形的性质可求得 ABE AOF 90 .由于AE 是正方形 ABCD 中BAC 的平分线， 根据 “等角的余 角 相 等 ” 即 可 求 得 AFO AEB.根 据 “对顶角相等 ”即可求得 BFEAEB， BEBF；(2)连接 O 和 AE 的中点 G.根据三 角形的中位线的性质即可证得OGBC， OG 1 2 CE.根 据 平 行 线 的 性

13、质 即 可 求 得 OGF FEB ， 从 而 证 得 OGF AFO， OGOF，进而证得OF 1 2CE. 证明： (1)四边形ABCD 是正方形， ACBD， ABE AOF90. CAE BAE ， AFO AEB ， 又 AFO BFE， BFE AEB， BEBF； (2)连接 O 和 AE 的中点 G. AOCO， AGEG， OGBC， OG 1 2CE， OGF FEB. AFO AEB， OGF AFO， OGOF， OF 1 2CE. 方法总结： 在正方形的条件下证明线段 的关系， 通常的方法是连接对角线构造垂直 平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定 理、角平分线、等腰三角形等知识来证明， 有时也利用全等三角形来解决 三、板书设计 1正方形的性质 对边平行，四条边都相等； 四个角都是直角； 对角线互相垂直、平分且相等，并且每 一条对角线平分一组对角 2正方形的判定方法 一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形 第 7 页 共 7 页 本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴 趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学 生动手动脑的机会，变被动学习为主动学 习，引导通过感官的思维去观察、探究、分 析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻 理解知识、 主动获取知识，养成良好的学习 习惯 .