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1、2.3.1 抛物线及其标准方程,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线(其中定点不在定直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点H作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？,提出问题：,几何画板观察,1.根据定义手工画抛物线 实践体验,手工画抛物线 实践体验,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相
2、等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,2、抛物线的几何定义:,生活中的抛物线!,欣赏:,将物体抛出后在空中运动 形成的曲线,抛物线的物理定义!,抛物线的模型定义!,抛物线的函数定义!,3.抛物线的标准方程的推导:,设KF= p(焦准距),设动点M的坐标为（x，y），,由定义可知，,F,M,l,N,过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy。,方程 y2 = 2px（p0）叫做,其中 p 为正常数，它的几何意义是:,焦点到准线的距离(焦准距),4.抛
3、物线的标准方程:,抛物线的标准方程。,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),开口向左,开口向上,开口向下,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四四种抛物线的对比,(3)y2 = mx,左右开口型,(4)x2 = ny,上下开口型,x2 = 2py,y=ax2,(2)与二次函数相比，表达式有何不同特征？,(1)与椭圆、双曲线相比，方程有何不同特征？,5.归纳与思考,6、巩固练习,
4、2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：,D,.,例1、根据下列条件写出抛物线的标准方程：,(1)焦点是F(0,-2)；,(2)准线方程为,(3)焦点到准线的距离是2.,由前面两个题目，反思研究得到：,先定位（确定焦点的位置）， 后定量（确定p的值）,课堂练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0
5、 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,例2：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。,解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， 得p=,2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,典型例题,例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,例4：点M与点F（4,0）的距离比它到直线l
6、:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。,x=-5,x=-4,M,H,G,(4,0),题型二：利用抛物线的定义求点的轨迹方程,例5：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标,P,A(3,2),题型三：抛物线应用于求最值问题,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 (另一说法:到定点和定直线的距离的 比等于1),1、抛物线的几何定义:,定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,y2 = 2px （p0）,x2 = -2py （p0）,y2 = mx,左右开口型,x2 = ny,上下开口型,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,2、方程的四种形式及方程系数与曲线要素的对应关系,作业布置,课后练习： 课本P63 练习13,
