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1、数字信号处理方法与实现,常用DSP算法,DFT(离散付里叶变换) FFT算法 FIR滤波器 IIR滤波器 自适应滤波器,DFT(离散付里叶变换),DFT的定义为: 定义旋转因子:,DFT的一些重要结论,有限长离散时间信号的频域离散表述可对傅里叶变换取样得到； 只有当傅里叶变换一个周期内0，2）的取样数N大于等于原信号长度L时，表述才有实用意义。 当信号x(n)长度L小于N时，则对x(n)补零构成N点序列，再进行DFT运算。,DFT的一些重要结论,N越大，则它的DFT与傅里叶变换越近似，因为在区间0，2）的取样数增加了。 N的取值通常需要根据实际应用中允许的运算复杂度决定，因为补零个数越多，则D
2、FT计算所需要的运算和存储器件越多。,DFT实现数字滤波器,线性和圆周卷积 重叠相加法 重叠保留法,线性和圆周（循环）卷积,时不变系统可以实现输入信号与系统冲激响应之间的线性卷积。 两个序列卷积的傅里叶变换等于它们的傅里叶变换相乘，即可在频域计算卷积。 频域取样导致信号时域周期重复，理论上利用DFT只能计算圆周（循环）卷积，而不能实现线性卷积。,圆周卷积等价于线性卷积的条件,其中，N为DFT的长度，序列x(n)的长度为L，序列h(n)的长度为K。 为了利用DFT计算线性卷积，必须选择满足上式的DFT长度N，并对x(n)至少补K-1个零，对h(n)至少补L-1个零。,长序列与短序列卷积的DFT实
3、现方法,在大多数实际情况中，长序列对应于系统输入，短序列对应于系统冲激响应。 将长序列分割成长度为N的序列块，计算每一块与短序列的卷积。 每一个序列块的卷积必须适当地合并，以得到长序列和短序列卷积的最后结果。 有两种合并的方法，分别是重叠相加法和重叠保留法。,重叠相加法,将序列x(n)分解成长度为N的序列块xm(n)； 分别对h(n)和xm(n)补零，使长度变为N+K-1； 用N+K-1点DFT计算每块的圆周卷积； 将结果相加，其中序列块卷积结果ym(n)的后K-1个取样和ym+1(n)的前K-1个取样重叠，故称重叠相加法。,重叠保留法,将序列x(n)分解成长度为N的序列块xm(n)，其中有K
4、-1个取样与相邻序列重叠，第一个序列块在开头补K-1个零； 对h(n)补零，使长度变为N； 用长度为N的DFT计算每个序列块的圆周卷积。 拼接构成输出信号。,两种方法的区别,在重叠相加法中，计算长度N+K-1的DFT，并将结果相加； 在重叠保留法中，只需计算长度N的DFT，并通过舍弃、保留手段拼接构成最后输出结果。,FFT算法,DFT运算归结为一系列的乘加运算，谱的每一个频率点都要对N个乘法项求和，对N个谱点总共作N2次乘法，计算量大，不利于实时处理。 1965年，Cooley和Tukey提出快速付里叶变换（FFT），极大地提高了运算速度。,运算量对比,例：1024个采样点 直接DFT：需10
5、48576次乘法； FFT：仅需5120次乘法。,基-2 FFT运算近似的复乘次数,注意,FFT是DFT的一种快速算法； FFT没有对DFT作任何近似，精度无任何损失，相反，由于FFT的计算步骤少，硬件位数有限引起的积累误差小。,FFT算法原理,FFT算法节省运算时间的关键在于，它把数据组x(n)分解为奇数下标和偶数下标，然后利用指数函数（即旋转因子）的周期性消去多余操作。 一个N点DFT可分解成两个N/2点DFT，同理，逐步分解，经过log2N步之后可分解为N/2个两点的计算（基-2碟式运算）。 运算量为N/2 log2N,抽取（decimation）,两种形式的蝶式运算,DIT（按时间抽取
6、） DIF （按频率抽取）,位反序排列（以8点FFT为例）,0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111 0 4 2 6 1 5 3 7,反向FFT（IFFT）,可以使用同一计算程序（硬件结构）作正反两个方向的计算。三个步骤： 取x(k)的共轭，得x*(k)； 求x*(k)的FFT； 再求共轭，乘以1/N，即得。,不同基的FFT算法,基-2算法：序列长度N为2的整数幂，即N=2L，其精确复乘次数为（考虑省去非乘法的次数）： 基-4算法：序列长度N为4的整数幂，即N=22L，其精确复
7、乘次数为（考虑省去非乘法的次数）：,基-4算法比基-2算法更高效。,谱泄漏,DFT是对有限时间间隔（时间窗）里的采样数据的变换，导致谱泄漏。,单位矩形序列r(n)乘以无限正弦波f(n),无限正弦波谱，函数,单位矩形序列的谱，SinC函数,说明,如果时间窗长度正好为整数倍个信号周期，除一点有值外，其余全为0，变换结果没有产生谱泄漏。 通常情况，时间窗不等于信号周期的整数倍，频谱中，除中心值外，还有以1/f（倍频程）缓慢衰减的旁瓣。,时间窗加权,为消除谱泄漏，加权，压低旁瓣。 时间窗本身的作用相当于宽度与之相等的一个矩形窗函数的加权。,选择窗函数的原则,使信号在窗的边缘为0，以减小截断所产生的不连
8、续效应。 信号经窗函数加权处理后，不应丢失太多的信息。 选择什么样的窗函数，总是在旁瓣的衰减程度、中心峰的宽度和能量损失等因素间取折衷（一组矛盾）。,常用加权函数的一般形式,= 2，=0.5时，称为汉宁（Hanning）窗； = 2，=0.54时，称为汉明（Hamming）窗。,其它窗函数形式,矩形窗 三角窗 布莱克曼窗 凯塞窗 切比雪夫窗,FFT用于快速卷积,时域直接卷积 频域处理方法 实用中，这两种方法究竟哪一种速度快，取决于输入序列的性质，通常采用FFT的频域方法较快，但存在固有的处理延时。,FFT在DSP实现过程中应注意的问题,应调整信号的采样点数，使之正好或接近为2（或4，由基数定）
9、的幂次，尽量避免大量补零的冗余。 频域系数通常为固定系数，可提前算好存起来，实时处理时不必再算，可省一次FFT运算。,FFT在DSP实现过程中应注意的问题,DSP作FFT运算时，应尽量使用片内RAM，速度快，并利用位反转（位反序）寻址方式专门为FFT运算提供的DSP功能。 定点DSP实现FFT，应注意防止中间结果溢出，其方法是对中间数值归一化（以因子2进行归一化，可运用DSP芯片的移位功能，不会增加运算量），如作2m点FFT，可以2m作归一化。,FIR滤波器,数字滤波是数字信号处理中的基本处理算法。 FIR（finite impulse response）滤波器是最常用的一种数字滤波器。,FI
10、R滤波器的差分方程与Z变换,其中，x(n)为输入，y(n)为输出，ak为滤波器系数。,展开，得,标准FIR滤波器结构,转置FIR滤波器结构,输入,.,h(N-1),h(N-2),h(0),Z-1,.,Z-1,输出,转置型横向滤波器,FIR滤波器的特点,精确严格的线性相位 FIR滤波器是稳定系统 非递归结构 可采用FFT算法，提高运算效率,FIR滤波器的设计方法,频率抽样法FIR滤波器的逼近方法 设计一个长度为N的FIR滤波器，可以对要求达到的频率响应在N个点取样，把这些取样值进行反傅氏变换，即可得到所要设计的滤波器的冲激响应。 窗函数法基本方法,FIR滤波器的窗函数设计法,设所需滤波器的理想响
11、应Hd(ejw),对hd(n)作截尾处理,Q为FIR滤波器的阶数，Q越大，近似程度越高,FIR滤波器的窗函数设计法,对hd(n)截尾，实际上是对hd(n)乘上一个矩形窗，这是FIR滤波器设计的最直接和简便的方法，但采用矩形窗存在较大的Gibbis现象（有限项近似所产生的振荡），这是由于矩形窗函数的边缘截止得太突然所引起，加合适的窗可减小。 通常可采用前面介绍的其它经典窗函数（Hamming窗、Hanning窗、Blackman窗等）。,FIR滤波器的设计过程,通过计算机编程设计FIR滤波器，常用Matlab仿真软件进行。 根据任务要求，首先确定所需FIR滤波器阶数，然后利用仿真软件计算滤波器系数，即完成FIR滤波器的设计。,FIR滤波器的计算过程,输入数据存在RAM缓冲区中，N个系数存在系数存储器中，用程序循环执行,对N个点的一次循环计算产生一个输出y(n)，也就是说，FIR滤波计算就是循环卷积计算，即移动的加权平均处理。 用前面方法计算得到的一组系数h(n)（即滤波器的设计），即可用于FIR计算。,FIR滤波器的DSP实现,注意输入数据x(n)与滤波器系数h(n)的合理存放。,数据存储区,程序存储区,均为连续的存储区,采用循环寻址功能，使长度为N的缓冲区足以存储N阶滤波器所需的输入数据。,
