《人教版高中数学必修五教案3.备课资料(2.2.2等差数列通项公式)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修五教案3.备课资料(2.2.2等差数列通项公式)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备课资料 一、备用例题 【例 1】 梯子最高一级宽 33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有 10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度. 解：设an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件， 可知 a 1=33，a12=110，n=12，所以 a12=a1+(12-1)d，即得 110=33+11d，解 之，得 d=7. 因此 a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96, a11=103. 答： 梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm， 47cm， 54 cm， 61 cm， 6
2、8 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. 【例 2】 已知 cba 1 , 1 , 1 成等差数列，求证： a cb ， b ac ， c ba 也成等差 数列. 证明：因为 a 1 ， b 1 ，c 1 成等差数列， 所以 cab 112 ，化简得 2ac=b(a+c)， 所以有 ac caac ac cacab ac abacbc c ba a cb 222222 2)( = b ca cab ca ac ca ?2 2 )( )()( 22 . 因而, a cb , b ac c ba 也成等差数列 . 【例 3】 设数列 an、 bn都是等差数列，且 a
3、1=35， b1=75， a2+b2=100， 求数列 an+bn的第 37 项的值 . 分析： 由数列 an、bn都是等差数列，可得 an+bn是等差数列，故 可求出数列 an+bn的公差和通项 . 解：设数列 an、bn的公差分别为 d1，d2，则(a n+1+bn+1)-(an+bn)=(a n+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2为常数，所以可得 an+bn 是等差数列 .设其公差 为d，则公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10. 因而 a37+b37=110-10 (37-1)=-250. 所以数列 an+bn的第 37 项的值为 -250. 点
4、拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是 等差数列后，方可使用通项公式an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直 接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列. 【例 4】 在美国广为流传的一道数学题目是“ 老板给你两个加工资的 方案：一是每年年末加1 000美元；二是每半年结束时加300美元， 请你选择一种加薪方式 ”.一般不擅长数学的人，很容易选择前者，因 为一年加一千美元总比两个半年共加600 美元要多 .其实，由于加工 资是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二 年的年末，依第一种方案共可以加得1 000+2 000=3 000 美元；而第 二
5、种方案共可以加得300+600+900+1 200=3 000美元， 但到了第三年， 第一方案共可加得6 000 美元，第二方案则共加得6 300 美元，显然 多于第一种方案 .第四年后会更多 .因此，你若会在该公司干三年以上， 则应选择第二方案 . 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加 薪多少美元？ (2)如果第二方案中的每半年加300 美元改为每半年加a 美元.问 a 取 何值时，总是选择第二种方案比选择第一种方案多加薪？ 答案： (1)在该公司干 10 年，选择第二种方案比选项择第一种方案多 加薪 8 000美元. (2)当 a 大
6、于 3 1000 时，总是第二方案加薪多于第一种方案. 【例 5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块 一块.他们发现，每一种确定的刀数， 都可以有一个最多的块数 .例如， 切一刀最多切成 2 块， 切 2 刀最多切成 4 块， 切 3 刀最多切成 7 块 问切 n 刀，最多可切出几块 ? (要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的 刀数， 都可以有一个最多的块数， 可先从少量的几刀去得出一些数据， 再对数据加以分析， 让学生学会归纳与总结， 并能勇于联想、 探索) 答案：1 2 1 2 12 nn. 二、阅读材料 一个古老的数学课题 等差数列是一个古老的数学
7、课题.一个数列从第二项起，后项减 去前项所得的差是一个相等的常数，则称此数列为等差数列. 在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差 数列.例如早在公元前 2700 年以前埃及数学的莱因特纸草书中， 就记载着相关的问题 .在巴比伦晚期的泥板文书中，也有按级递 减分物的等差数列问题 .其中有一个问题大意是： 10 个兄弟分 100 两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第 八兄弟分得 6 两，问相邻两兄弟相差多少？ 在我国公元五世纪写成的 张丘建算经中，透过五个具体例子， 分别给出了求公差、 总和、项数的一般步骤 .比如书中第 23 题(用现代 语叙述 )： （1）有一女子不善织
8、布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5 尺， 最后一日织 1 尺，共织了 30日，问共织布多少？ 这是一个已知首项 (a1)、 末项(an)， 以及项数 (n)求总数 (S n)的问题， 对此，原书提出的解法是： 总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相 当于现今代数里的求和公式：Sn=(a 1+a n) 2 n .印度数学家婆罗摩笈多 在 公 元 7 世 纪 也 得出 了 这 个 公式 ， 并 给 出了 求 末 项 公式 ： an=a1+(n-1)d. （2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5 尺，经一月共织 39 丈，问每日比前一日增织多少？ 这是一个已知首项 (a1)，
9、总数 (Sn)以及项数 (n)，求公差 (d)的问题，对 此原书给出的解法是 . 1 2 2 1 n a n S d n 等价于现在的求和公式： 2 ) 1(2 1 dna nSn. 书中第 1 题：今有某人拿钱赠人，第一人给3 元，第二人给 4 元，第 三人给 5 元，其余依次递增分给 .给完后把这些人所得的钱全部收回， 再平均分配，结果每人得100元，问人数多少？ 这是一个已知首项 (a1)，公差(d)以及 n 项的平均数 (m)，求项数 (n)的 问题，对此原书给出的解法是 d dam n )(2 1 . 我国自张邱建之后， 对等差数列的计算日趋重视， 特别是在天文学和 堆栈求积等问题的
10、推动下， 从对一般的等差数列的研究发展成为对高 阶等差数列的研究 .在北宋沈括 (10311095)的梦溪笔谈中， “ 垛 积术” 就是第一个关于高级等差数列的求积法. 垛积术即 “ 有限差分法 ” ，我国古代用于天文历算和计算垛积. 垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等 比数列，很早就有了初步的研究成果. 九章算术 中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数 求公差的问题，并用比例方法来解决. 公元 5 世纪末的张邱建算经给出了等差数列求和公式： S= 2 1 n(a+1)与求公差的公式：)2 2 ( 1 1 a n S n d. 南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如 S=12+22+32+ n2= 6 n (n+1)(2n+1), S=1+3+6+10+ 2 ) 1(nn = 6 1 n(n+1)(n+2) 之类的垛积公式 . 北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式： )( 6 2()2 6 ac n bcdadb n S. 元朝数学家朱世杰在四元玉鉴和算学启蒙中得到一系列重要 的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元 数学家在这方面的研究工作.
