《人教版高中数学必修五教案7.备课资料(3.4.2基本不等式的应用(一))》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修五教案7.备课资料(3.4.2基本不等式的应用(一))（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备课资料 备用习题 1.已知 a、b 是正实数，试比较an+bn与 a n-1 b+abn-1 的大小 . 解：an+bn-a n-1b-abn-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1). 当 ab0 时，a-b0,a n-1-bn-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0; 当 ba0 时，a-b0,a n-1-bn-10,得（a-b）(a n-1-bn-1)0; 当 b=a0 时， （a-b）(an-1-bn-1)=0; 所以当 a b 时，an+bna n-1b+ab n-1; 当 a=b 时,an+bn=a n-1b+abn-1. 2.已知ABC
2、内接于单位圆，且 (1+tanA)(1+tanB)=2， （1）求证:内角 C 为定值；（2）求ABC 面积的最大值 . （）证明：由 (1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1- )tan( 1 BA )(tanA+tan B)=0.(tanA+tanB)0, 0 )tan( 1 1 BA ，即 tan(A+B)=1.C=135 . （2）解析： 由题意 ,可得 SABC= 2 1 ACBCsinC= 4 2 ACBC 4 2 ( 2 BCAC )2.当AC=BC 时， SABC有最大值，最大值为SABC= 4 2 (AC)2. 再作辅助线如图，连结
3、OC、OA，OC 交 AB 于 D 得 ABOC，所以 AD=BD= 2 2 ,CD=1- 2 2 , AC 2=AD2+CD 2= 2-2,所以 S ABC的最大值 = 4 2 (AC)2= 2 12 . 3.一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 x km/h 的速度匀速开往 400 km 处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于 2 ) 20 x （km， 问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？ 解析：设全部物资到达灾区所需时间为t 小时，由题意可知 t 相当于： 最后一辆车行驶了 25 个 2 ) 20 x （+400 km 所用的时间，因此， 10 400 400 25 2
4、 400 ) 20 (25 2 x x xx x t. 当且仅当 x x400 400 25 ,即 x=80 时取 “=”. 答：这些汽车以80km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时 间是 10 小时. 4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 米的无盖长 方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的 长度为 a 米，高度为 b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、 b 的乘积 ab 成反比 .现有制箱材料 60 平方米，问 a、b 各为多少米时， 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B 孔面积忽略不 计) 分析：应用题的最值问题，主要是选
5、取适当的变量，再依据题设，建 立数学模型 (即函数关系式 )，由变量和常量之间的关系，选取基本不 等式求最值 . 解法一： 设 y 为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知 ab k y, 其中 k0 且 k 是比例系数 .依题意要使 y 最小，只需求 ab 的最大值 . 由题设得4b2ab2a0（a0，b0） ，即 a2bab30（a 0， b0） ，a2b2ab2,22abab30. 当且仅当a2b 时取“ ” ，ab 有最大值 .当 a2b 时有 22 abab30，即 b22b 10.解之，得 b 13，b2（舍去） .a2b.故当 a 米， b3 米时，经沉淀后流出的水中杂质最少.
6、解法二： 设 y 为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b2ab 2a0（a0，b0） ， a2bab30 （a0，b0）. a a b 2 30 （0a30).由题设 ab k y， 其中 k0 且 k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 . 18 2 64 )2(234 2 64 )2(34 2 64 32 2 30 2 k a a k a a k a a k a aa k ab k y .当且仅当 a2 2 64 a 时取“ ” ，即a，b3 时 ab 有最大值 18.故当 a米， b3 米时经沉淀后流出的水中杂质最少. 点评： 均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先
7、 构造定值； (2)出现关系式； (3)验证“ ” 成立. 5.如图，在ABC 中， 0 ，AC3，B4，一条直线分 AB 的面积为相等的两部分，且夹在AB 与 BC 之间的线段最短，求此 线段长 . 分析： 本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB 与 BC 之间的线 段 EF，同时考虑到题设中的等量关系，即SB 2 1 SAB，因此， 所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx，B y. 解：设 Bx，By(0 x4，0y） ，则 SB 2 1 B B sinB 2 1 xysinB. 又 SAB 2 1 B A 2 1 3 4 ,依题意可知SB 2 1 SAB . 2 1 xysinB 2 1 3. 5 3 sin BC AC B，xy10,又 5 4 cos AB BC B,在B中，由余弦定理 得 2B2B22B B cosBx2y22xy 5 4 x2y21 2 xy14，当且仅当 xy 10时，等号成立 .故此时线段 EF 的长为 2. 点评： 本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数 最值是不等式的重要应用， 当解析式比较复杂时， 利用三角函数的有 关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法. 从而使我们注意到： 数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思 想方法 .
