《人教版高中数学必修五教案7.备课资料(3.4.2基本不等式的应用(一))》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版高中数学必修五教案7.备课资料(3.4.2基本不等式的应用(一))(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、备课资料 备用习题 1.已知 a、b 是正实数,试比较an+bn与 a n-1 b+abn-1 的大小 . 解:an+bn-a n-1b-abn-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1). 当 ab0 时,a-b0,a n-1-bn-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0; 当 ba0 时,a-b0,a n-1-bn-10,得(a-b)(a n-1-bn-1)0; 当 b=a0 时, (a-b)(an-1-bn-1)=0; 所以当 a b 时,an+bna n-1b+ab n-1; 当 a=b 时,an+bn=a n-1b+abn-1. 2.已知ABC
2、内接于单位圆,且 (1+tanA)(1+tanB)=2, (1)求证:内角 C 为定值;(2)求ABC 面积的最大值 . ()证明:由 (1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1- )tan( 1 BA )(tanA+tan B)=0.(tanA+tanB)0, 0 )tan( 1 1 BA ,即 tan(A+B)=1.C=135 . (2)解析: 由题意 ,可得 SABC= 2 1 ACBCsinC= 4 2 ACBC 4 2 ( 2 BCAC )2.当AC=BC 时, SABC有最大值,最大值为SABC= 4 2 (AC)2. 再作辅助线如图,连结
3、OC、OA,OC 交 AB 于 D 得 ABOC,所以 AD=BD= 2 2 ,CD=1- 2 2 , AC 2=AD2+CD 2= 2-2,所以 S ABC的最大值 = 4 2 (AC)2= 2 12 . 3.一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 x km/h 的速度匀速开往 400 km 处的灾区,为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于 2 ) 20 x (km, 问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时? 解析:设全部物资到达灾区所需时间为t 小时,由题意可知 t 相当于: 最后一辆车行驶了 25 个 2 ) 20 x (+400 km 所用的时间,因此, 10 400 400 25 2
4、 400 ) 20 (25 2 x x xx x t. 当且仅当 x x400 400 25 ,即 x=80 时取 “=”. 答:这些汽车以80km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时 间是 10 小时. 4.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2 米的无盖长 方体的沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的 长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、 b 的乘积 ab 成反比 .现有制箱材料 60 平方米,问 a、b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A、B 孔面积忽略不 计) 分析:应用题的最值问题,主要是选
5、取适当的变量,再依据题设,建 立数学模型 (即函数关系式 ),由变量和常量之间的关系,选取基本不 等式求最值 . 解法一: 设 y 为流出的水中杂质的质量分数,根据题意可知 ab k y, 其中 k0 且 k 是比例系数 .依题意要使 y 最小,只需求 ab 的最大值 . 由题设得4b2ab2a0(a0,b0) ,即 a2bab30(a 0, b0) ,a2b2ab2,22abab30. 当且仅当a2b 时取“ ” ,ab 有最大值 .当 a2b 时有 22 abab30,即 b22b 10.解之,得 b 13,b2(舍去) .a2b.故当 a 米, b3 米时,经沉淀后流出的水中杂质最少.
6、解法二: 设 y 为流出的水中杂质的质量分数,由题意可知4b2ab 2a0(a0,b0) , a2bab30 (a0,b0). a a b 2 30 (0a30).由题设 ab k y, 其中 k0 且 k 是比例系数,依题只需ab 取最大值 . 18 2 64 )2(234 2 64 )2(34 2 64 32 2 30 2 k a a k a a k a a k a aa k ab k y .当且仅当 a2 2 64 a 时取“ ” ,即a,b3 时 ab 有最大值 18.故当 a米, b3 米时经沉淀后流出的水中杂质最少. 点评: 均值不等式在实际问题中的应用相当广泛,解题过程为(1)先
7、 构造定值; (2)出现关系式; (3)验证“ ” 成立. 5.如图,在ABC 中, 0 ,AC3,B4,一条直线分 AB 的面积为相等的两部分,且夹在AB 与 BC 之间的线段最短,求此 线段长 . 分析: 本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB 与 BC 之间的线 段 EF,同时考虑到题设中的等量关系,即SB 2 1 SAB,因此, 所选变量还应便于求两个三角形的面积,于是考虑设BEx,B y. 解:设 Bx,By(0 x4,0y) ,则 SB 2 1 B B sinB 2 1 xysinB. 又 SAB 2 1 B A 2 1 3 4 ,依题意可知SB 2 1 SAB . 2 1 xysinB 2 1 3. 5 3 sin BC AC B,xy10,又 5 4 cos AB BC B,在B中,由余弦定理 得 2B2B22B B cosBx2y22xy 5 4 x2y21 2 xy14,当且仅当 xy 10时,等号成立 .故此时线段 EF 的长为 2. 点评: 本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数 最值是不等式的重要应用, 当解析式比较复杂时, 利用三角函数的有 关知识,巧妙地寻求等量关系,合理变形,是我们常用的一惯手法. 从而使我们注意到: 数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思 想方法 .