上海市普陀区2019届高三三模考试试题数学含解析

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1、上海市普陀区2019 届高三三模考试试题 数学 一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 1. 已知全集，集合，则_. 【答案】. 【解析】 【分析】 利用补集的概念得答案. 【详解】因为全集，集合，所以， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目. 2. 四个数据： 1，3，3，5 的标准差是 _. 【答案】. 【解析】 【分析】 先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差. 【详解】这组数据的平均数是：， 方差为， 标准差为， 故答案是：

2、. 【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目. 3. 已知函数偶函数，且，则_. 【答案】 5. 【解析】 【分析】 设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果. 【详解】因为是偶函数， 所以设， 则， 即， 因为，所以， 即， 故答案是： 5. 【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体 思维的应用，属于简单题目. 4. 抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是 _. 【答案】 【解析】 试题分析： 考点：抛物线及其性质 5. 已知一个半球的俯视图是半径为1 的圆，则半球的表面积为_. 【答案】

3、. 【解析】 【分析】 根据一个半球的俯视图是半径为1 的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球 面和一个大圆的面积和求得结果. 【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1 的圆， 所以该半球对应的球的半径为1， 所以该半球的表面积为， 故答案是：. 【点睛】 该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式， 属于简单题目. 6. 对数不等式的解集是，则实数的值为 _. 【答案】 2. 【解析】 【分析】 先解出不等式，再结合已知解集，可得结果. 【详解】将对数不等式两边同时乘以，得， 即， 所以此不等式的解为：或， 因为其解集为， 所以， 故答案是：

4、 2. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法 和对数不等式的解法，属于简单题目. 7. 若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为_. 【答案】. 【解析】 【分析】 首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得 到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果. 【详解】因为无穷等比数列的各项和为2， 所以其公比满足，且， 所以， 当时， 当时， 所以首项的取值范围为， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项 和的公式，注意分类讨论

5、，属于简单题目. 8. 已知的三边长分别为3,5,7 ，则该三角形的外接圆半径等于_ 【答案】 【解析】 试题分析：，由正弦定理得. 考点：解三角形，三角形外接圆. 9. 已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为 _. 【答案】 5. 【解析】 【分析】 首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值 . 【 详解】解方程，可得， 所以，所以， 所以，解得， 故答案是： 5. 【点睛】 该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式， 属于简单题目. 10. 从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中

6、） 的概率是，则_. 【答案】 4 或 7. 【解析】 【分析】 先求出所有的基本事件有45 种，再求出取到的一个数大于， 另一个数小于的基本事件有种， 根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可. 【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种， 取到的一个数大于，另一个数小于， 比 小的数有个，比大的数有个， 故一共有个基本事件， 由题意可得， 即，整理得， 解得或， 故答案是： 4 或 7. 【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古 典概型概率公式，属于简单题目. 11. 若，且，则的值 为_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先对所给的方

7、程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值， 然后求解三角函数 值即可 . 【详解】， (- 2) 3- 2sin cos - 2=0， 即( - 2) 3+sin ( - 2) - 2=0. 由可得. 故- 2和是方程x 3+sinx - 2=0 的两个实数解. 再由， 所以和的范围都是， 由于函数x 3+sinx 在上单调递增， 故方程x 3+sinx - 2=0 在上只有一个解， 所以， 则的值为. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力 . 12. 已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，

8、 过作垂直于轴的直线，且 与线段交于点，若恒成立，则的最大值是 _. 【答案】. 【解析】 【分析】 由的坐标可以将直线的方程找到， 通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的 不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值 . 【详解】因为， 所以， 所以直线的方程为， 设，所以， 因为恒成立， 所以恒成立， 所以， 因为在时小于等于0 恒成立， 所以， 当或时，显然成立； 当时， 所以由基本不等式得， 此时， 所以的最大值为， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件 的转化，应用基本不等式求

9、最值，属于较难题目. 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分） 13. 已知与 均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由得，即， 因为与 均为单位向量，所以， 即，则，即成立， 反之，当时， 从而可以得到， 所以是的充要条件， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等 的，单位向量的模为1，向量

10、夹角的余弦公式，属于简单题目. 14. 设，则的值为（） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】 C 【解析】 【分析】 分别令和即可求得结果. 【详解】 令，可得： 令，可得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式. 15. 已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与 双曲线公共点的个数是（） A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定 【答案】 D 【解析】 【分析】 首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出 来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进

11、而得到直线与双曲线焦点的个数 有 1 个或两个，从而得到结果. 【详解】因为，是关于的方程的两个实数根， 所以， 且， 又因为， 所以直线的方程为：， 即， 即，即， 所以直线恒过点， 因为方程的两个实数根， 所以，解得或， 因为直线过点，且斜率为， 所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点， 所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线 过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目. 16. 在平面上，. 若，则的取值范围是 ( ) A. B. C.

12、 D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 先由0得，再由推理得 ，再计算2，最后根据推理得的取值范围 . 【详解】， 0， . ， ， . ， ， 222( ) 2， ，0， 0， ，即 | . 故答案：D 【点睛】 (1) 本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这 些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 解答本题关键的地方有两点，其一是由0 得 ，其二是由推理得，本题属于 难题 . 三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分） 17. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别为棱、的中点 . （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的大小 . 【答案

13、】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】 （1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量， 利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用 反正弦求得结果. 【详解】（1）根据题意，可得 ； （2）如图建立空间直角坐标系， 则有， 所以， 设平面的法向量为， 所以有，即， 取，则有， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以求直线AB与平面 PQR所成角的正弦值是， 所以直线AB与平面 PQR所成角的大小为. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正 弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单

14、题目. 18. 在中，角、 所对的边分别为、 、 . （1）若，求面积的最大值； （2）若，试判断的形状 . 【答案】（1）； （2）直角三角形或等腰三角形. 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定 出三角形面积的最大值； （2） 根据三角形内角和定理，得到， 代入已知等式， 展开化简合并， 得， 最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得：，即， 整理得，因为，所以， 即，所以， 当且仅当时取等号， 则 的最大值为. （2）由，所以， 化简得，即， 所以或， 因为与 都为三角形

15、内角， 所以或， 所以是直角三角形或等腰三角形. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，利用基本不等式求最值，三角 形的面积公式，三角形形状的判断，属于简单题目. 19. 某城市自2014 年至 2019 年每年年初统计得到的人口数量如表所示. 年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 人数（单位：万）2082 2135 2203 2276 2339 2385 （1）设第年的人口数量为（2014 年为第 1 年） ，根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014 年至 2018 年每年该城市人口的增长数量的变化趋势； （2）研究统计人员用函数拟合

16、该城市的人口数量，其中的单位是年 . 假 设 2014 年初对应，的单位是万 . 设的反函数为，求的值（精确到0.1 ） ，并解释 其实际意义 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 . 【解析】 【分析】 （1）根据表中的数据可得从2014 年到 2019 年人口增加的数量，逐年增多，从2017 年后，增加的人数逐 年减少，但人口总数是逐年增加的； （2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可. 【详解】（1）， ， ， 由上述计算可知，该地区2014 年至 2019 年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈 逐渐递增的趋势； （2）因为为单调递减函数，则为单调递增函数， 则， 代入，