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1、第十六章二次根式 1二次根式： 一般地，式子)0a(,a叫做二次根式 . 注意： （1）若0a这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a是一个重要的非负数，即；a0. 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中 不含分母 ； 分母中 不含根式 。 3重要公式：（1）)0a(a)a( 2 , （2） )0a(a )0a(a aa 2 ；注意使用)0a()a(a 2 . (3) 积的算术平方根：)0b,0a(baab，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注 意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4二次根式的乘法法则：
2、)0b,0a(abba. 5二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小 . 6商的算术平方根：)0b,0a( b a b a ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平 方根. 7二次根式的除法法则： （1）)0b,0a( b a b a ； （2）)0b, 0a(baba； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有 理化因式，使分母变为整式. 8常用分母有理化因式：aa 与，baba与，bnambnam与，它们也叫互为有 理化因式 . 9最简二
3、次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，被开方数的因数是整数，因式是整式， 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10二次根式化简题的几种类型： （1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题 . 11同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类 二次根式 . 12二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、
4、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范 围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运 算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第十七章勾股定理 1. 勾股定理 ：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a 2b2=c2。 2. 勾股定理逆定理 ：如果三角形三边长a, b, c满足 a 2b2=c2。 ，那么这个三角形是直角 三角形。 3. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，
5、 那么另一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4. 直角三角形的性质 （1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90 A+B=90 （2） 、在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 可表示如下：C=90 BC= 2 1 AB （3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 可表示如下： D为 AB的中点CD= 2 1 AB=BD=AD 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上 的摄影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜 边的比例中项 ACB=90 BDADCD? 2 ABADAC? 2 CD AB
6、 ABBDBC? 2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB?CD=AC ?BC 7、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有关系 222 cba，那么这个三 角形是直角三角形。 8、命题、定理、证明 1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题） 所谓正确的
7、命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 6、证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 9、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与
8、中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 10 数学口诀 . 平方差公式 : 平方差公式有两项，符号相反切记牢
9、，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相 混淆。 完全平方公式 : 完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央； 首尾括号带平方，尾项符号随中央。 第十八章四边形 1四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360； （2）四边形的外角和等于360. 几何表达式举例： (1) A+B+C+D=360 (2) 1+2+3+4=360 2多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180 ； （2）任意多边形的外角和等于360 . 几何表达式举例： 略 3平行四边形的性质： 因为 ABCD 是平行四边形 .5 4 3 2 1 ）邻角互补（ ）对角线互相
10、平分；（ ）两组对角分别相等；（ ）两组对边分别相等；（ ）两组对边分别平行；（ 几何表达式举例： (1) ABCD是平行四边形 AB CD ADBC (2) ABCD是平行四边形 AB=CD AD=BC (3) ABCD是平行四边形 ABC= ADC DAB= BCD (4) ABCD是平行四边形 OA=OC OB=OD (5) ABCD是平行四边形 CDA+ BAD=180 A BC D 12 3 4 A BC D A B D O C 4. 平行四边形的判定： 是平行四边形 ）对角线互相平分（ ）一组对边平行且相等（ ）两组对角分别相等（ ）两组对边分别相等（ ）两组对边分别平行（ ABC
11、D 5 4 3 2 1 . 几何表达式举例： (1) AB CD ADBC 四边形ABCD 是平行四边形 (2) AB=CD AD=BC 四边形ABCD 是平行四边形 (3) 5. 矩形的性质： 因为 ABCD 是矩形 .3 ;2 ;1 ）对角线相等（ ）四个角都是直角（ 有通性）具有平行四边形的所（ (2) (1)(3) 几何表达式举例： (1) (2) ABCD是矩形 A=B=C=D=90 (3) ABCD是矩形 AC=BD 6. 矩形的判定： 边形）对角线相等的平行四（ ）三个角都是直角（ 一个直角）平行四边形（ 3 2 1 四边形 ABCD 是矩形 . (1)(2) (3) 几何表达式
12、举例： (1) ABCD是平行四边形 又 A=90 四边形ABCD 是矩形 (2) A=B=C=D=90 四边形ABCD 是矩形 (3) A B D O C A D B C A D B C A D B C O A D B C O 7菱形的性质： 因为 ABCD 是菱形 .3 2 1 角）对角线垂直且平分对（ ）四个边都相等；（ 有通性；）具有平行四边形的所（ 几何表达式举例： (1) (2) ABCD是菱形 AB=BC=CD=DA (3) ABCD是菱形 AC BD ADB= CDB 8菱形的判定： 边形）对角线垂直的平行四（ ）四个边都相等（ 一组邻边等）平行四边形（ 3 2 1 四边形四边
13、形ABCD 是菱形 . 几何表达式举例： (1) ABCD是平行四边形 DA=DC 四边形ABCD 是菱形 (2) AB=BC=CD=DA 四边形ABCD 是菱形 (3) ABCD是平行四边形 AC BD 四边形ABCD 是菱形 9正方形的性质： 因为 ABCD 是正方形 .3 2 1 分对角）对角线相等垂直且平（ 角都是直角；）四个边都相等，四个（ 有通性；）具有平行四边形的所（ CD AB （1） AB CD O （ 2） （3） 几何表达式举例： (1) (2) ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA A= B=C=D=90 (3) ABCD是正方形 AC=BD ACBD 10正方形的
14、判定： 一组邻边等矩形）（ 一个直角）菱形（ 一个直角一组邻边等）平行四边形（ 3 2 1 四边形 ABCD 是正方形 . (3)ABCD 是矩形 又 AD=AB 几何表达式举例： (1) ABCD是平行四边形 又 AD=AB ABC=90 四边形ABCD 是正方形 (2) ABCD是菱形 又 ABC=90 C D B A O C D B A O CD A B 四边形ABCD 是正方形四边形ABCD 是正方形 11等腰梯形的性质： 因为 ABCD 是等腰梯形 .3 2 1 ）对角线相等（ ；）同一底上的底角相等（ 两底平行，两腰相等；）（ 几何表达式举例： (1) ABCD是等腰梯形 AD B
15、C AB=CD (2) ABCD是等腰梯形 ABC= DCB BAD= CDA (3) ABCD是等腰梯形 AC=BD 12等腰梯形的判定： 对角线相等）梯形（ 底角相等）梯形（ 两腰相等）梯形（ 3 2 1 四边形 ABCD 是等腰梯形 (3)ABCD是梯形且 AD BC AC=BD ABCD 四边形是等腰梯形 几何表达式举例： (1) ABCD是梯形且AD BC 又 AB=CD 四边形ABCD 是等腰梯形 (2) ABCD是梯形且AD BC 又 ABC= DCB 四边形ABCD 是等腰梯形 13平行线等分线段定理与推论： （ 1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它 直线上
16、截得的线段也相等； （2）经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰；（如图） （3） 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（如 图） (2) (3) 几何表达式举例： (1) (2) ABCD是梯形且AB CD 又 DE=EA EF AB CF=FB (3) AD=DB 又 DE BC AE=EC 14三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它 的一半 . 几何表达式举例： AD=DB AE=EC DE BC且 DE= 2 1 BC EF D A B C E D CB A E D CB A A BC D O A BC D O 15梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底 和的一半 . 几何表达式举例： ABCD是梯形且AB CD
