《高中数学平面向量专题复习(含例题练习)-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学平面向量专题复习(含例题练习)-修订编选（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 平面向量专题复习平面向量专题复习 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如： 2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；0 3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；AB | AB AB 4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规abab 定零向量和任何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量
2、不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线 平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有)；平行向量无传递性！（因为有)；0 三点共线共线；ABC、 、AB AC 、 6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如aa 例 1： （1）若，则。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若ab ab ，则是平行四边形。 （4）若是平行四边形，则。 （5）若，则ABDC ABCDABCDABDC ,ab bc 。 （6）若，则。其中正确的是_ac / , /ab bc /ac 二、向量的表
3、示 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；abc 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，xyij 则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量a,axiy jx y , x yaa, x ya 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理：如果e平面向量的基本定理：如果e1 1和e和e2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a， 有且只有一对实数、，使a=e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对
4、该平面内的任一向量a， 有且只有一对实数、，使a=e1 1ee2 2。如 1 2 1 2 例 2（1）若，则_(1,1),ab (1, 1),( 1,2)c c （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. 12 (0,0),(1, 2)ee 12 ( 1,2),(5,7)ee C. D. 12 (3,5),(6,10)ee 12 13 (2, 3),( ,) 24 ee （3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为,AD BE ABC,BC AC,ADa BEb BC , a b _ （4）已知中，点在边上，且，则的值是_ABCDBC DBCD2 ACsABrCDsr
5、四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：aa 2 当0 时，的方向与的方向相同，当0 时，的方向与的方向相 1, 2aa aaaa 反，当0 时，注意：0。0a a 五平面向量的数量积： 1两个向量的夹角：对于非零向量，作，ab,OAa OBb AOB 称为向量，的夹角，当0 时，同向，当时，反向，当时，0ababab 2 ，垂直。ab 2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做ab|cosa b a 与的数量积（或内积或点积） ，记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量与的数量积（或内积或
6、点积） ，记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量bababcosa b 积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|cosb 4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。ababa|a ba 5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：ab ；0aba b 当，同向时， 特别地，； 当与反向时，ababa b 2 22 ,aa aaaa abab ；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝a b aba b 、0a
7、b 角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；aba b 、0a b 非零向量，夹角的计算公式：；。abcos a b a b | |a ba b 例 3 如（1）ABC 中，则_3| AB4| AC5| BCBCAB （2）已知，与的夹角为，则等于_ 11 (1, ),(0,), 22 abcakb dab c d 4 k （3）已知，则等于_2,5,3aba b ab （4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_, a b abab 与aab 例 4 已知，且，则向量在向量上的投影为_3| a5| b12 ba a b 例 5（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_)2 ,( a
8、)2 ,3( b a b （2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是 。OFQS1 FQOF 2 3 2 1 S FQOF, 六向量的运算： 1几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之 外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即,ABa BCb AC a b ；abABBCAC 向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终,ABa ACbabABACCA 那么 点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 2坐标运算：设，则： 1122 ( ,),(,)ax ybxy 3 向量的加减法运算：，。
9、 12 (abxx 12) yy 实数与向量的积：。 1111 ,ax yxy 若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 1122 ( ,), (,)A x yB xy 2121 ,ABxx yy 段的终点坐标减去起点坐标。 平面向量数量积：。如 1212 a bx xy y 已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0） 。 （1）若 x，求向量、abc 3 ac 的夹角；（2）若 x，函数的最大值为，求的值 4 , 8 3 baxf)( 2 1 向量的模：。 2 22222 |,|axyaaxy 两点间的距离：若，则。 1122 ,A x yB xy 22
10、2121 |ABxxyy 例 6：_；_；_ABBCCD ABADDC ()()ABCDACBD 例 7（1）已知点，若，则当_时，点 P 在第一、三(2,3), (5,4)AB(7,10)C()APABACR 象限的角平分线上 （2）已知，则 1 (2,3), (1,4),(sin ,cos ) 2 ABABxy 且,(,) 2 2 x y xy 例 8 设，且，则 C、D 的坐标分别是_(2,3), ( 1,5)AB 1 3 ACAB 3ADAB 例 9 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_, a b 60|3 |ab 七向量的运算律： 1交换律：，；abba aa a bb a 2结合
11、律：，； ,abcabc abcabc aba bab 3分配律：，。 ,aaaabab abca cb c 例 10 下列命题中： ； ； cabacba)( cbacba)()( 2 ()ab 2 |a ； 若，则或；若则； 2 2| |abb 0 ba0 a0 b,a bc b ac 2 2 aa ；。其中正确的是_ 2 a bb a a 22 2 ()a bab 22 2 ()2abaa bb 提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、 两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约 去一个向
12、量，切记两向量不能相除(相约)； （2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什cbacba)()( 么？ 八向量平行(共线)的充要条件：0。/abab 22 ()(|)a ba b 1212 x yy x 例 11(1)若向量，当_时与共线且方向相同( ,1),(4, )axbx xa b （2）已知，且，则x_(1,1),(4, )abx 2uab 2vab /uv 4 （3）设， 则k_时，A,B,C 共线( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk 九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： .特 别 地0| |aba babab 1212 0 x xy y 。()() ABAC
13、ABAC ABACABAC 例 11(1)已知，若，则 ( 1,2),(3,)OAOBm OAOB m （2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，则点 B 的坐标是_ 90B （3）已知向量，且，则的坐标是_ ( , ),na b nm nm m 十向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2），特别地，当同向或有| | |ababab a b 、0 | |abab ； 当反 向 或 有； 当不 共 线| |abab a b 、0 | |abab | |abab a b 、 (这些和实数比较类似).| | |ababab
14、 （ 3） 在中 ， 若， 则 其 重 心 的 坐 标 为ABC 112233 ,A x yB xyC xy 。 123123 , 33 xxxyyy G 为的重心，特别地为的重 1( ) 3 PGPAPBPC GABC0PAPBPCP ABC 心； 为的垂心；PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；()(0) | ACAB ABAC ABCBAC （4）向量中三终点共线存在实数使得且.PA PB PC 、ABC、 、PAPBPC 1 例 12 若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 （-1，-1） ，则ABC 的重心的坐标为_ 例 13 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,O) 1 , 3(A)3 , 1(BC OC OBOA 21 其中且,则点的轨迹是_R 21, 1 21 C 5 AD B C P 高考真题选讲高考真题选讲 一、选择题 1 设xR ,向量( ,1),(1, 2),axb 且ab ,则|ab （） A5B10C2 5D10 3 在ABC中,90A,1AB ,设点,P Q满足 ,(1),APAB AQACR .若2BQ CP ,则（） A 1 3 B
