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1、试卷第 1 页，总 7 页 立体几何单元测试卷 一、单选题一、单选题 1设 , 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是() A若,则 = n,mnm B若,则m,n,mn C若,则m,n,mn D若,则n,n,mm 2如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）EFGH A在直线上 B在直线上DBAB C在直线上 D都不对CB 3在矩形 ABCD 中，若 AB3，BC4，PA平面 AC，且 PA1，则点 P 到对角线 BD 的距离为() A B 29 2 13 5 C D 17 5 119 5 4四面体中，棱两两互相垂直，则顶点 在底面上的正投影 为ABCDAB,
2、AC,ADABCDH 的（ ）BCD A垂心 B重心 C外心 D内心 5 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中， DAD1=，CDC1=， 那么异面直线 AD1与 DC145 30 所成角的余弦值是 （ ） 试卷第 2 页，总 7 页 A B C D 2 8 3 8 2 4 3 4 6在三棱锥中，平面，已知，则二面角SABCACSBCSC = a,BC = 3a,SB = 2a 的平面角是（ ）SACB A B C D30456090 7 如图， 在三棱柱 ABCABC中， 点 E、F、H、K 分别为 AC、CB、AB、BC的中点， G 为ABC 的重心， 从 K、H、G、B中取一点作为
3、P， 使得该三棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( ) AK BH CG DB 8如图，l，A，B，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与 、 所成的角 分别是 和 ，AB 在 、 内的射影长分别是 m 和 n，若 ab，则 ( ) A，mn B，mn C，mn D，mn 9点 P 在正方体侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且保持 APBD1，则点 P 的轨迹为 ( ) 试卷第 3 页，总 7 页 A线段 B1C BBB1的中点与 CC1的中点连成的线段 C线段 BC1 DBC 的中点与 B1C1的中点连成的线段 10设是异面直线，则以下四个命题 ： 存在分别
4、经过直线 和 的两个互相垂直的平a,bab 面；存在分别经过直线 和 的两个平行平面；经过直线 有且只有一个平面垂直于aba 直线 ；经过直线 有且只有一个平面平行于直线 ，其中正确的个数有（ ）bab A B C D1234 二、填空题二、填空题 11如图所示，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角 111 ABCABCABC 三角形， 是 的中点，点 在线段 上，当 1 2 ,3 ,ACa BBa D 11 ACF 1 AAAF _时， 平面 .CF 1 B DF 12如图，在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 1，则二面2 角 ACDB 的平面角的余弦值为_.
5、 13已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD 的中点，则 试卷第 4 页，总 7 页 棱AB与PD所在直线垂直； 平面PBC与平面ABCD垂直； PCD的面积大于PAB的面积； 直线AE与直线BF是异面直线 以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号) 14如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点， 1111 ABCDABC DMN， 1 AA AB 若是直角，则_. 1 B MN 1 C MN 15在正四面体中,分别是和的中点,则异面直线和所成角为ABCDM,NBCDAMNCD _ 16平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 已知底面四边形 A
6、BCD 为矩形， A1ABA 1AD 。 3 其中ABa，ADb，AA1c，体对角线A1C1，则 c 的最大值为_ 17 如图， 正方体的棱长为， 点为的中点， 在对角面 1111 ABCDABC Da E 1 AA 11 BB D D 上取一点，使最小，其最小值为_MAMME 三、解答题三、解答题 18如图，长方体中，点 为的中点.ABCD - A1B1C1D1AB = AD = 1 AA1= 2PDD1 试卷第 5 页，总 7 页 （1）求证：直线平面；BD1PAC （2）求证：平面 平面；PACBDD1 （3）求证：直线 平面.PB1PAC 19如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和
7、 PB 是两条面对角线，请在图（2）的正 方体中将 MN 和 PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。 （1）求证：MN平面 PBD； （2）求证：平面；AQPBD （3）求 PB 和平面 NMB 所成的角的大小 20如图,在底面为直角梯形的四棱锥中， 平面P - ABCDAD/BC ABC = 90, PA ，,.ABCD PA = 3,AD = 2,AB = 2 3 BC = 6 试卷第 6 页，总 7 页 (1)求证: 平面；BDPAC (2)求二面角的大小.P - BD - A 21四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，E，F 分别为 AC 和 PB 上的点，它的直 观图，
8、正视图，侧视图如图所示. (1)求 EF 与平面 ABCD 所成角的大小； (2)求二面角 BPAC 的大小. 22如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面PABCDPABABCD 平面，PABABCD2PA 4PC 试卷第 7 页，总 7 页 P C A D B F E （）若点是的中点，求证：平面； EPC/ /PABDE （）若点在线段上，且，当三棱锥的体积为时，求实FPAFAPABAFD 4 3 数的值. 参考答案参考答案 1D 【解析】 对于 A，,时，若 ，则，但题目中无条件 ，故 A 也不一定成立 ； = nnm，mnm 对于 B，,.显然不成立； = l m,n,mnl
9、 对于 C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有 不能得到 或，故不mn，mn 正确 对于 D， ，则，又，则，结论成立；n，nmm 故选 D 2A 【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，EFABDGHCBD 故交点在这两个平面的交线上.BD 3B 【解析】 如图， ，10,17,5PBPDBD 则， ， 1025 179 cos 2 1055 10 PBD 13 sin 5 10 PBD 所以，故选 B。 1313 sin10 55 10 P hPBPBD 4A 【解析】 连接，平面，因为平面，BH,DH,BACA,BADA,CA DA = A
10、BAACDCDACD ，又平面平面，平面，CDBAAHBDC,CDBDCCDAHAH BA = A,CDABH 得到为边上的高，同理可得为边上的高，因此 为直角三角形的垂心，故BHCD,BHDCDHBCHBDC 选 A. 5C 【详解】 由长方体DAD1=，CDC1=,设,.连接。45 30 AD = DD1= 1 CD = 3BC1,BD 由，所以异面直线 AD1与 DC1所成角，即。AD1/BC1BC1D 在中，由余弦定理可得，BDC1BC1= 2,BD = 2,C1D = 2,cosBC1D = 2 4 所以异面直线 AD1与 DC1所成角的余弦值是，选 C. 2 4 6D 【解析】因为
11、平面平面，即为二面角ACSBC,SC,BCSBC,ACSC,ACBCSCBSACB 的平面角， 又， 所以， 故为直角三角形，SC = a,BC = 3a,SB = 2aSB2= SC2+ BC2SCBSCB = 90 二面角的平面角是，故选 D.S - AC - B90 7C 【解析】应用验证法 ： 选G点为P时，EFAB且EFAB，此时恰有AB和AB平行于平面PEF， 故选C 8D 【解析】由勾股定理得a2n2b2m2AB2又ab，mn 由已知得 sin，sin，而 ab，sinsin， b AB a AB 又 ，(0， )， 故选 D 2 9A 【解析】APBD1恒成立， 要保证AP所在
12、的平面始终垂直于BD1 ACBD1，AB1BD1，ACAB1A， BD1面AB1C，P点在线段B1C上运动故选 A 10C 【解析】对于，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断 正确 ； 对于， 可在两个平行平面中， 分别画一条直线， 当这两条直线异面时， 可判断正确 ； 对于， 当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断锗误；对于，假设过直线 有两个a 平面与直线 平行，则面相交于直线 ，过直线 做一平面 与面相交于两条直线都与直线,b,ab,m,nb 平行，可得 与 平行，所以假设不成立，所以正确，故选 C.ab 11或a2a 【解析】由已知得平
13、面，又平面，故若平面， 1 B D 1 ACCF 1 AC 1 B DCFCF 1 B DF 则必有，设（），则， ，又CFDFAFx03xa 222 4CFxa 222 3DFaax（） ，解得或，故答案为或. 2222 910CDaaa 22222 1043axaaax（）xa2aa2a 12 3 3 【解析】 如图，取中点， 中点，连接，CDEACF,BE EF FB 由题可知， 边长均为 1，则，BCDBECD 中， ，则，得，ACD2,1ACADCDADCDFECD 所以二面角的平面角即，ACDBBFE 在中， ，BFE 312 , 222 BEEFFB 则，90BFE 所以。 3
14、cos 3 FE BFE BE 13 【解析】 由条件可得AB平面PAD， ABPD，故正确； 若平面PBC平面ABCD，由PBBC， 得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，故错；SPCDCDPD，SPABABPA， 1 2 1 2 由ABCD，PDPA知正确； 由E、F分别是棱PC、PD的中点， 可得EFCD，又ABCD， EFAB，故AE与BF共面，错 1490 【解析】 因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角， 所以MNMB1，因为B1C1是棱，所以MNB1C1，所以MN平面MB1C1， 所以C1MN=90 故答案为90 15
15、 4 【解析】因为 是正四面体，所以.取 中点 ，连接 则的大小为异面ABCDABCDACEME，NE.END 直线和所成角的大小.因为,且 .所以可知.MNCDMENEME = NEEND = 4 16 2 【详解】 如图， 由A1ABA1AD可知， 点在底面的射影点在直线 AC 上， 记直线与底面所成的角为 3 1 A 1 AA ，则, 1 coscoscosA ABCAB 所以，所以，在中，由正弦定理可知： 2 coscoscos 344 2 sin 2 1 A AC ，所以 ,当 时，最大为。 1 1 sinsin c ACA 1 2sin2cACA 1 2 ACA c 2 17 3
16、2 a 【详解】 取中点，连接 1 CC F ,ME MF AM 则MEMF （当且仅当三点共线时取等号）AMMEAMMFAF,A M F 又 22222222 13 42 AFACCFABBCCFaaaa 的最小值为：AMME 3 2 a 本题正确结果： 3 2 a 18【详解】 （1）设 AC 和 BD 交于点 O，连 PO，由 P，O 分别是，DD1 BD 的中点，故 PO/，所以直线平面BD1BD1PAC （2）长方体中，底面 ABCD 是正方形，则 ACBD ABCD - A1B1C1D1AB = AD = 1 又 面 ABCD，则 AC， BD=D DD1DD1DD1 所以 AC面，AC面，则平面 平面 BDD1PACPACBDD1 （3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以PB1C 是
