相遇与追及--修订编选

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1、“华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 1 页 相遇与追及相遇与追及 例 1.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是 3：2，他们相 遇后，甲的速度提高了 20%，乙的速度提高了 30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有 14 千米， 那么，A、B两地间的距离是多少千米？ 答疑编号 0518400101 【答案】45 【解答】 图示： 设出发时甲的速度为“3”，则乙的速度为“2”.相遇后，甲的速度为 3（1+20%）=，乙 的速度为 2（1+30%）=.此时甲乙的速度比为:=18:13.那么，当甲由相遇点到达 B 时， 走了如图所示的 2 段路程，相同时间内，

2、乙走 2=，还剩下 3-=段，由此知，图上的 每一小段长为 14=9（千米）.则全程为 95=45（千米）. 基础知识： 1）相遇问题 ： 两人在同一直线上行进，且行进的方向正对着对方（相向而行），则两人在中间 某个地点相遇。 常用关系：相遇路程=速度和相遇时间 前提条件：时间相同（同时出发） 2）追及问题 ： 两人在同一直线上行进，且行进的方向相同（同向而行），如果后面的人速度更 快一些，则他会在某个地点追上前面的人。 常用关系：追及路程=速度差追及时间 前提条件：时间相同（同时出发） 例 2.从A城到B城，甲要走 2 小时，乙要走 1 小时 40 分钟，若甲比乙先行 10 分钟，那么乙出

3、发后多少分钟追上甲？ 答疑编号 0518400102 【答案】50 【解答】甲走完全程用 2 小时，即 120 分钟， 乙走完全程需 1 小时 40 分钟，即 100 分钟。 将A城到B城的路程设为单位“1”，则甲、乙的速度分别为和。 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 2 页 追及路程即为甲 10 分钟所走的路程：， 追及时间为：分钟。 例 3.自行车队出发 12 分钟后，小张骑摩托车开始追，在距离出发点 9 千米处追上.小张立刻返 回到出发点并且再次追赶自行车队， 在距离出发点 18 千米处再次追上， 那么自行车队每分钟前进多 少米？ 答疑编号 0518400103 【答案】500

4、 【解答】因为两次追上的地点分别距离出发点为 9 千米和 18 千米， 所以小张在两次相遇之间一共走了 9+18=27 千米. 同时自行车队前进了 18-9=9 千米， 因此小张的速度是自行车队的 279=3 倍. 于是小张骑摩托车开始追自行车队的时候， 自行车队应该距离出发点 9-93=6 千米， 而这时车队已经出发了 12 分钟， 所以车队的速度是 600012=500 米/分钟. 总结：在多人或多段行程问题中，我们要善于根据图示，发现可作为突破口的行程路段。 这类行程路段要么有同一个人的三量（路程、速度、时间）之二是已知的，要么有两个人的对 应量是已知的。 例 4.从甲市到乙市有一条公路

5、，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米；在第二 段上，汽车速度是每小时 90 千米 ； 在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米.已知第一段公路的长恰 好是第三段的 2 倍.现在两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第二 段的三分之一处相遇，那么甲乙两市相距多少千米？ 答疑编号 0518400104 【答案】185 【解答】 图示： 如图 1，记两辆汽车在 B 点相遇， 并设汽车走完第三段公路（即从乙到C）所用时间为单位 1. 由于在第一段和第三段公路上汽车的速度比是 40:50， 而第一段公路的长是第三段的 2 倍，所以走完第一段公路的时间是个单

6、位. 那么当从甲市出发的汽车走完第一段公路到达A时， 另一辆汽车已经在第二段公路上行驶了 1.5 个时间单位. 因为两辆汽车在第二段公路上的速度相等， 所以这时那辆汽车必然已经走了第二段公路的， “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 3 页 因此从这时到两车相遇又经过了 1.5 个时间单位. 这样从两车出发到相遇，一共是 2.5+1.5=4 个时间单位， 所以每个时间单位是小时， 那么甲乙两市之间的距离是千米. 例 5.小明从家去学校，出门一段时间后，爸爸发现小明未带铅笔盒，便骑车去追他.两人相遇 之后爸爸立即回家，小明继续向学校走.爸爸到家后又发现小明未带作业本，拿着本再骑车去追他，

7、而小明到校后也发现未带作业本，于是跑步回家去拿，与爸爸在途中相遇.已知两次的相遇点重合， 相遇之间相差 8 分钟， 且爸爸骑车的速度和小明跑步的速度分别是小明步行速度的 4 倍和 3 倍.那么 小明步行从家到学校需要多少分钟？ 答疑编号 0518400105 【答案】22 【解答】依题意，小明跑步从学校到相遇点的速度是他步行从相遇点到学校速度的 3 倍， 所以在这段路程上，步行所用的时间是跑步的 3 倍，即步行了分钟.爸爸在相遇点与 家之间往返一次需要 8 分钟，单程要分钟，因此从家到相遇点小明步行要分钟.从 而小明步行去学校的时间为分钟. 总结：图示法是分析复杂行程问题的重要方法。 例6.甲

8、、 乙两辆小汽车分别以每小时90千米和每小时60千米的速度从A地、B地出发相向而行， 在此之前有一辆货车从A地出发向B地方向行驶.乙车在途中先与货车相遇，此时甲车距离它们有 100 千米；之后乙车与甲车相遇，此时货车与它们相距 70 千米.而当甲车追上货车时，它们已经经 过 B 地又行驶了 20 千米. （1）货车每小时行驶多少千米？ （2）甲、乙两地相距多少千米？ 答疑编号 0518400106 【答案】（1）45 （2）300 【解答】（1）从第一次相遇到第二次相遇所用的时间是：小时， 在这一过程中，乙车行驶的路程为：千米， 这说明货车在这一过程中行驶的路程为：千米， 因此货车的速度是：千

9、米/小时。 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 4 页 （2）从第二次相遇到甲车追上货车的时间为：小时， 这说明第二次相遇点到B地的距离是：千米， 这也是甲乙两车出发到相遇时，乙车所走的路程， 由两车的速度之比可得两车的总路程（即A、B两地的距离）：千米。 例 1.A、B两地相距 4800 米，甲住A地，乙和丙住在B地.有一天他们同时出发，乙、丙向A地 前进，而甲向B地前进.甲和乙相遇后，乙立刻反身行进，10 分钟后又与丙相遇.第二天他们又是同 时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变，乙追上甲后又立刻返身行进， 结果 20 分钟后与丙相遇.已知甲每分钟走 40 米，

10、求丙的速度. 答疑编号 0518400201 【答案】60 米分 【解答】由已知，第一天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的 10 倍，而第二 天甲、乙追及时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的 20 倍，因此第二天甲、乙追及时，乙、丙 的距离是第一天的 2 倍.由于乙、丙的距离是乙、丙的速度差与甲、乙相遇所需时间的乘积，所以第 二天甲、乙相遇所需时间是第一天的 2 倍. 由于第二天甲、乙追及所需的时间AB的距离甲和乙的速度差，而第一天甲、乙相遇所需的 时间AB的距离甲和乙的速度和，因此甲、乙的速度和是甲、乙的速度差的 2 倍. 由于甲、乙的速度和是甲的速度的 2 倍加上两人速度差

11、，因此甲速度的 2 倍等于甲、乙速度差， 由此知乙的速度是甲的 3 倍，即乙每分钟走 403120 米. 在第一天中，甲、乙相遇用了 4800（12040）30 分钟，又乙返回 10 分钟后与丙相遇，因 此乙、丙速度和是乙丙速度差的 3 倍，从而丙的速度为每分钟 120（31）（31）60 米.即 丙每分钟走 60 米. 例 2.A、B、C、O四个小镇之间的道路分布如图所示，其中A、O两镇相距 20 千米，B、O两镇 相距 30 千米.某天甲、乙二人同时从 B 出发，甲到达O镇后再向A镇走，到达A镇后又立刻返回， 而乙到达O镇后直接向C镇行进.丙从C镇与甲、乙两人同时出发，在距离O镇 15 千

12、米处与乙相遇. 当丙到达O镇后又向A镇前行，在与O镇相距 6 千米的地方与甲相遇.已知甲、乙的速度比为 8:9， 求O、C两镇之间的距离. 答疑编号 0518400202 【答案】50 千米 【解答】当乙和丙相遇时，乙已经走了 301545 千米.由于甲乙两人的速度比是 89，因此 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 5 页 这时甲已经走了 458940 千米. 当甲和丙相遇时， 甲已经走了 30202664 千米， 因此两次相遇之间的时间是全部时间的 . 而丙在两次相遇之间走的路程是 15621 千米，说明在与甲相遇前他一共走了千 米，所以OC之间的距离是 56650 千米. 例 3

13、.在商场里并排安装有两个速度、长度都一样的自动扶梯，一个向上开，另一个向下开.小 明和小强分别同时登上向上的和向下的扶梯.若小明还以一定的速度向上走，则两人经过 60 秒相遇 ； 若小强也用同样的速度向下走，则两人只需要 40 秒即可相遇.现在如果他们都站在扶梯上不动，那 么两人相遇需要多少秒？ 答疑编号 0518400203 【答案】120 【解答】设电梯的长度为“1”，则有电梯速度的 2 倍加一人的速度为， 电梯速度的 2 倍加两人的速度为， 则人的速度为， 因此电梯速度的 2 倍为， 若两人都不动，则最后相遇时间为秒. 例 4.江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游.

14、一艘货船和一艘游船同时从 甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船；又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入 江中（该物品可以浮在水面上），6 分钟后被货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又 和游船相遇.问游船在静水中的速度为每小时多少千米？ 答疑编号 0518400204 【答案】15 【解答】此题可以分为几个阶段来考虑. 第一个阶段是一个追及问题.在货船追上游船的过程中，两者的追及距离是 15 千米，共用了 5 小时，故两者的速度差是 1553 千米.由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是 3 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 6 页 千米. 在紧接着

15、的 1 个小时中， 货船开始领先游船， 两者最后相距 313 千米.这时货船上的东西落 入水中， 6 分钟后货船上的人才发现.此时货轮离落在水中的东西的距离已经是货轮的静水速度 （千米）。从此时算起，到货轮和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好 等于货轮的静水速度， 所以这段时间是货轮的静水速度货轮的静水速度小时. 按题意， 此时也刚好遇上追上来的游船.货船开始回追物体开始时， 货船和游船刚好相距 33 千米，两者到相遇共用了小时。 故两者的速度和是每小时33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等. 又已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米，故游船的速度为每小时（333）215 千米. 把握现在、就是创造未来。不问收获，但问耕耘！ 天道酬勤。期末考试，加油！