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1、 1 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 1.1集合1.1集合 【1.1.1】集合的含义与表示【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.NNNZQR （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.aMaMaM （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素.x xx 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集
2、合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合 叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集 BA （或 )AB A 中的任一元素都属 于 B (1)AA (2)A (3)若且，则BA BCAC (4)若且，则BA BAAB A(B) 或 BA 真子集 AB （或 BA） ，且 B 中至BA 少有一元素不属于 A （1）（A 为非空子集）A (2)若且，则AB BC AC BA 集合 相等 AB A 中的任一元素都属 于 B， B 中的任一元素 都属于 A
3、 (1)AB (2)BA A(B) （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，A(1)n n 2n21 n 21 n 它有非空真子集.22 n （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算【1.1.3】集合的基本运算 2 名称记号意义性质示意图 交集 AB 且 |,x xA xB （1）AAA （2）A （3）ABA ABB 并集 AB 或 |,x xA xB （1）AAA （2）AA （3）ABA ABB 补集 UA |,x xUxA且 1 2 () U AA () U AAU A 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等
4、式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 |(0)xa a |xaxa |(0)xa a或|x xa xa |,|(0)axbc axbc c 把看 成 一 个 整 体 ， 化 成，axb|xa 型不等式来求解|(0)xa a （2）一元二次不等式的解法 判别式 2 4bac 0 0 0 二次函数 2 (0)yaxbxc a 的图象 O = O L O 一元二次方程 2 0(0)axbxca 的根 2 1,2 4 2 bbac x a （其中 12) xx 12 2 b xx a 无实根 2 0(0)axbxca 的解集 或 1 |x xx 2 xx |x 2 b x
5、 a R 2 0(0)axbxca 12 |x xxx ()()() UUU ABAB ()()() UUU ABAB 3 的解集 1.2函数及其表示1.2函数及其表示 【1.2.1】函数的概念【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合ABfAxB 中都有唯一确定的数和它对应， 那么这样的对应 （包括集合，以及到的对应法则）( )f xABABf 叫做集合到的一个函数，记作AB:fAB 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设是两个实数，且
6、，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足, a babaxbx , a b 的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的axbx( , )a baxbaxbx 集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集 , )a b( , a b,xa xa xb xbx 合分别记做 ,),( ,),(, ,(, )aabb 注意：注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须 |x axb( , )a bab ab （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 是整式时，定义域是全体实数( )f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( )f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负
7、值时的实数的集合( )f x 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 中，tanyx() 2 xkkZ 零（负）指数幂的底数不能为零 若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数( )f x 的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数( )f x , a b ( )f g x 的定义域应由不等式解出( )ag xb 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 4 （4）求函数
8、的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值 判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程( )yf xyx ，则在时，由于为实数，故必须有
9、 2 ( )( )( )0a y xb y xc y( )0a y , x y ，从而确定函数的值域或最值 2( ) 4 ( )( )0bya yc y 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1.2.2】函数的表示法【1.2.2】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数
10、学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有ABfAB 唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合ABABfA 到的映射，记作B:fAB 给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么我们把元素AB,aA bBab 叫做元素的象，元素叫做元素的原象baab 1.3函数的基本性质1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值【1.3.1】单调性与最大（小）值 5 y xo （
11、1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x x1 1 x x2 2时，都 有 f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数增函数 x1x2 y=f(X) x y f(x ) 1 f(x ) 2 o （1）利用定义 （2）利用已知函数的 单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2，当 x x1 1 xf(x)f(x2 2) )，那
12、么就说 f(x)在这个区间上是减函数减函数 y=f(X)y x o xx2 f(x ) f(x )2 1 1 （1）利用定义 （2）利用已知函数的 单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数， 令， 若为 增 ，为 增 ， 则 对 于 复 合 函 数， 令， 若为 增 ，为 增 ， 则 (
13、 )yf g x( )ug x( )yf u( )ug x 为增；若为减，为减，则为增；若为为增；若为减，为减，则为增；若为 ( )yf g x( )yf u( )ug x ( )yf g x( )yf u 增 ，为 减 ，则为 减；若为 减 ，为 增 ，则增 ，为 减 ，则为 减；若为 减 ，为 增 ，则( )ug x ( )yf g x( )yf u( )ug x 为减为减 ( )yf g x （2）打“”函数的图象与性质( )(0) a f xxa x 分别在、上为增函数，分别在( )f x(,a ,)a 、上为减函数,0)a(0,a （3）最大（小）值定义 一般地，设函数的定义域为，如
14、果存在实数满足：（1）( )yf xIM 对 于任意的，都有；xI( )f xM （2）存在，使得那么，我们称是函数 的最大值，记作 0 xI 0 ()f xMM( )f x max( ) fxM 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有( )yf xImxI 6 ； （2）存在，使得那么，我们称是函数的最小值，记作( )f xm 0 xI 0 ()f xmm( )f x max( ) fxm 【1.3.2】奇偶性【1.3.2】奇偶性 （4）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x，都有 f(x)=
15、f(x) f(x),那么函数 f(x)叫做奇函 数 奇函 数 （1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （2）利用图象（图象 关于原点对称） 函数的 奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x， 都有 f(x)=f(x)f(x), 那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数 （1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （2）利用图象（图象 关于 y 轴对称） 若函数为奇函数，且在处有定义，则( )f x0 x (0)0f 奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反yy 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或 奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象补充知识函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域； 化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ； 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象 平移变换 0, 0,| ( )() hh hh yf xyf xh 左移 个单位 右移|个单位 0, 0,| ( )( ) kk kk yf xyf
