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1、高中数学知识点大全高中数学知识点大全圆锥曲线圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： 定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点 是焦点，两定点间距离是焦距，且定长 2a 大于焦距 2c。用集合表示为： ； 定义二 ： 在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e，那 么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数 e 是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（ 为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： 定义一 ： 在平面内到两
2、定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲 线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： 定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e，那么这个 点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数 e 是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义 ： 在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点 是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数 p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： 焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； 标准方程中
3、一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致； 标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线，一个三角形”，即六点 ： 四个顶点，两个 焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线 PQ；三角形：焦点三角形。则椭 圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 3、椭圆形状与 e 的关系 ： 当 e0，c0，椭圆圆，直至成为极限位置的圆，则认为 圆是椭圆在 e=0 时的特例。当 e1，ca 椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时 也可认为是椭圆在 e=1 时的特例。 4、 利用焦半径公式计算焦点
4、弦长 ： 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB， A、 B 两点的坐标分别为，则弦长 这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。 5、若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为 AB，则 ； 6、结合下图熟记双曲线的：“四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦点；八 线：实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线 PQ。三角形：焦点三角形。 7、双曲线形状与 e 的关系 ：，e 越大，即渐近 线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的 离心率越大，它的开口就越阔。 8、双曲线的焦点到渐近线的距离为 b。 9、共轭双曲线 ： 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为
5、实轴，这样得到的双曲线称为原 双曲线的共轭双曲线。区别：三常数 a、b、c 中 a、b 不同（互换）c 相同,它们共用一对渐 近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法 ： 将 1 变为1。 10、过双曲线外一点 P（x,y）的直线与双曲线只有一个公 共点的情况如下： （1）P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线 和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； （2）P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线 和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； （3）P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一
6、渐近线平行的直线，一 条是切线； （4）P 为原点时不存在这样的直线； 11、结合图形熟记抛物线 ： “两点两线，一个直角梯形”，即 ： 两点 ： 顶点和焦点 ； 两线 ：准 线、焦点弦；梯形：直角梯形 ABCD。 12、对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算； 13、 抛物线的焦点弦 （过焦点的弦） 为 AB， 且 ，则有如下结论： 14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行 于对称轴的直线； 15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设 为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两 点间关系： 16、当涉及到弦的中点时，通常有两种
7、处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲 线方程，消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标， 然后把交点坐标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条 件0 是否成立。 5、圆锥曲线： （1） 统一定义， 三种圆锥曲线均可看成是这样的点集 ：， 其中 F 为定点，d 为点 P 到定直线的l 距离， e 为常数，如图。 （2）当 0e1 时，点 P 的轨迹是椭圆 ； 当 e1 时，点 P 的轨迹是双曲线 ； 当 e=1 时， 点 P 的轨迹是抛物线。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置 的改变而改变。
8、 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称； 椭圆及双曲线关于长轴、 短轴或实轴、 虚轴为轴对称， 关于中心为中心对称 ； 抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。 定量： （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 以焦点在 x 轴上的方程为例： 6、曲线与方程： （1）轨迹法求曲线方程的程序： 建立适当的坐标系； 设曲线上任一点（动点）M 的坐标为(x,y)； 列出符合条件 p(M)的方程 f(x,y)=0； 化简方程 f(x,y)=0 为最简形式； 证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上； （2）曲线的交点： 由方程组确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公 共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。
