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1、1 解三角形解三角形 1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立 ：以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立 ：ABCCBA、cba、 （1）边的关系：，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（1）边的关系：，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）cbabcaacb （2）角的关系：，（2）角的关系：，CBACBA
2、、0BA0BA ， ， ， ， 0sinACBAsin)sin(CBAcos)cos( 2 cos 2 sin CBA （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用板块一：正弦定理及其应用 1正弦定理：，其中为的外接圆半径1正弦定理：，其中为的外接圆半径R C c B b A a 2 sinsinsin RABC 2正弦定理适用于两类解三角形问题：2正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定
3、理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 的可能） ，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边的可能） ，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边 【例 1】考查正弦定理的应用【例 1】考查正弦定理的应用 （1）中，若，则_； （1）中，若，则_；ABC 60B 4 2 tanA2BCAC （2）中，若，则_； （2）中，若，则_；ABC 30A2b1aC （3）中，若，则_； （3）中，若，则_；ABC 45A24b8aC （4）中，若，则
4、的最大值为_。 （4）中，若，则的最大值为_。ABCAcasin c ba 2 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在中，已知、如图，在中，已知、ABCabA （1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。（1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。Aba ABC （2）若为锐角，则当时，三角形无解；（2）若为锐角，则当时，三角形无解；AAbasin 当时，三角形有唯一解； 当时，三角形有唯一解；Abasin 当时，三角形有两解； 当
5、时，三角形有两解；baAbsin 当时，三角形有唯一解 当时，三角形有唯一解ba 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。 板块二：余弦定理及面积公式板块二：余弦定理及面积公式 1余弦定理：在中，角的对边分别为，则有1余弦定理：在中，角的对边分别为，则有ABCCBA、cba、 余弦定理： ， 其变式为： 余弦定理： ， 其变式为： Cabbac Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 ab cba C ac bca
6、 B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 2余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：2余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或 由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角； （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或 由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦 定理求第二个角） ，
7、最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦 定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3三角形的面积公式3三角形的面积公式 （1） （、分别表示、上的高） ；（1） （、分别表示、上的高） ； cbaABC chbhahS 2 1 2 1 2 1 a h b h c habc （2）（2）BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 （3） （为外接圆半径
8、）（3） （为外接圆半径） ABC SCBARsinsinsin2 2 R （4）；（4）； R abc S ABC 4 （5） 其中（5） 其中)()(cpbpappS ABC )( 2 1 cbap （6）（是内切圆的半径， 是三角形的周长）（6）（是内切圆的半径， 是三角形的周长）lrS ABC 2 1 rl 3 【例】考查余弦定理的基本应用【例】考查余弦定理的基本应用 （1）在中，若，求；（1）在中，若，求；ABC32a26 b 45CBAc、 （2）在中，若，求边上的高；（2）在中，若，求边上的高；ABC13a4b3cACh （3）在中，若，求（3）在中，若，求ABC132a8b 6
9、0Ac 【例】 （1）在中，若，则中最大角的余弦值为_【例】 （1）在中，若，则中最大角的余弦值为_ABC7a8b 14 13 cosCABC （2） （10 上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（2） （10 上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则 5 1 11 1 13 1 、 （ ）（ ） A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形 （3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为_（3）以为三边组成一个锐角
10、三角形，则的取值范围为_x、43x 【例】考查正余弦定理的灵活使用【例】考查正余弦定理的灵活使用 （1）在中，若，其面积，则_（1）在中，若，其面积，则_ABCCcAbBasincoscos)( 4 1 222 acbSB （2）在中，若，则_（2）在中，若，则_ABCCaAcbcoscos)3(Acos （3） （07 天津理）在中，若，则_（3） （07 天津理）在中，若，则_ABCbcba3 22 BCsin32sinA （4） （10 江苏）在锐角中，若，则_（4） （10 江苏）在锐角中，若，则_ABCC b a a b cos6 B C A C tan tan tan tan 【例
11、】判断满足下列条件的三角形形状【例】判断满足下列条件的三角形形状 （1）； （2）； （3）； （1）； （2）； （3）；AbBatantan 22 BACsincos2sin c ba BA coscos （4）； （5）， （4）； （5），)sin()()sin()( 2222 BAbaBAbaCabsinBaccos 4 板块三：解三角形综合问题板块三：解三角形综合问题 【例】 （09 全国 2）【例】 （09 全国 2） 在中， 角的对边分别为、， 求在中， 角的对边分别为、， 求ABCCBA、abc 2 3 cos)cos(BCAacb 2 B 【例】 （11 西城一模）在中，角
12、的对边分别为，且，【例】 （11 西城一模）在中，角的对边分别为，且，ABCCBA、cba、 5 4 cosB2b （1）当时，求角的度数； （2）求面积的最大值 （1）当时，求角的度数； （2）求面积的最大值 3 5 aAABC 【例】在中，求的值和的面积【例】在中，求的值和的面积ABCsincosAA 2 2 AC 2AB 3AsinABC 【例】在中，角的对边分别为，已知，【例】在中，角的对边分别为，已知，ABCCBA、cba、2c 3 C （1）若的面积等于，求；（1）若的面积等于，求；ABC3ba、 （2）若，求的面积（2）若，求的面积sinsin()2sin2CBAAABC 【例
13、5】 （09 江西理）在中，角的对边分别为，且，【例 5】 （09 江西理）在中，角的对边分别为，且，ABCCBA、cba、 sinsin tan coscos AB C AB sin()cosBAC （1）求 （2）若，求（1）求 （2）若，求CA、33 ABC Sca、 【例】 （09 安徽理）在中，, 【例】 （09 安徽理）在中，, ABCsin()1CA 3 1 sinB （1）求的值； （2）设，求的面积（1）求的值； （2）设，求的面积Asin6ACABC 【例】 （10 辽宁理）在中，角的对边分别为，【例】 （10 辽宁理）在中，角的对边分别为，ABCCBA、cba、 且且Cb
14、cBcbAasin)2(sin)2(sin2 （1）求的大小； （2）求的最大值 （1）求的大小； （2）求的最大值 ACBsinsin 5 【例】在中，角的对边分别为， ，【例】在中，角的对边分别为， ，ABCCBA、cba、)( 4 3 222 cbaS ABC （1）求的大小； （2）求的范围 （1）求的大小； （2）求的范围CBAsinsin 【例】 （11 全国 2）设的内角的对边分别为，已知，【例】 （11 全国 2）设的内角的对边分别为，已知，ABCCBA、cba、 90CA ，求，求bca2C 【江西理】在中，角的对边分别是，已知【江西理】在中，角的对边分别是，已知ABCCBA、cba、 2 sin1cossin C CC （1）求的值； （2）若，求边的值（1）求的值； （2）若，求边的值Csin8)(4 22 babac 【11 江西文】在中，角的对边分别是，已知【11 江西文】在中，角的对边分别是，已知ABCCBA、cba、CbBcAacoscoscos3 （1）求的值； （2）若，求边的值（1）求的值； （2）若，求边的值Acos 3 32 coscosCB1ac
