《高中数学二次函数知识点总结（最新编写-修订版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学二次函数知识点总结（最新编写-修订版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学安徽铜陵姚老师：13866500720 1 二次函数二次函数知识点和常见题型知识点和常见题型 一一. 二次函数的三种表示方法二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbxaxy 2 （2）顶点式 nmxay 2 )( （3）两根式 )( 21 xxxxay 1 若若 2 f xxbxc，且，且 10f， 30f，求，求1f 的值的值 变式变式 1 1：若二次函数 2 fxaxbxc 的图像的顶点坐标为2, 1，与y轴的交点坐标为(0,11)，则 A 1,4,11abc B 3,12,11abc C 3,6,11abc D 3,12,11abc 变式变式 2 2：若若 2 23, , fxx
2、bxxb c 的图像 x=1 对称，则 c=_ 变式变式 3 3：若二次函数 2 fxaxbxc 的图像与 x 轴有两个不同的交点 1,0 A x 、 2,0 B x 且 22 12 26 9 xx ， 试问该二次函数的图像由 2 31fxx 的图像向上平移几个单位得到？ 二二二次函数二次函数 y=ax2+bx+c(a0)有如下性质：有如下性质： （1）顶点坐标 2 4 (,) 24 bacb aa ；对称轴 2 b x a ； （2）若 a0，且=b 2-4ac0，那么 f(x)0， 2 b x a 时， 2 min 4 ( ) 4 acb f x a ； （3）若 a0，且f(x)0，那么
3、0； （4）若 a0，且存在 x0(-，+)，使得f(x0)0，那么0; 若若 a0a0，有与性质，有与性质 2 2、3 3、4 4 类似的性质类似的性质 2 将函数将函数 2 361f xxx 配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大 值或最小值，并画出它的图像值或最小值，并画出它的图像 变式变式 1 1：已知二次函数 2 fxaxbxc ，如果 12 fxfx (其中 12 xx )，则 12 2 xx f （） A 2 b a B b a C c D 2 4 4 acb a 变式变式 2 2：函数 2 fxxp xq 对任意
4、的 x 均有 11fxfx ，那么 0f 、 1f 、 1f 的 大小关系是（） A 110fff B 011fff C 101fff D 101fff y O 高中数学安徽铜陵姚老师：13866500720 2 变式变式 3 3：已知函数 2 fxa xb xc 的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数 a、b、c 有关的正确命题_ 三二次函数的三二次函数的单调性单调性： 当0a，x(， b 2a 时递减，x b 2a ，) 时递增 当0a，x(， b 2a 时递增，x b 2a ，) 时递减 3. 已知函数已知函数 2 2f xxx， 2 22,4g xxx x ： (1)求求 fx ，
5、gx 的单调区间；的单调区间；(2) 求求 fx ， gx 的最小值的最小值 变式变式 1 1：已知函数 2 42fxxa x 在区间 , 6 内单调递减，则 a 的取值范围是() A 3a B 3a C 3a D 3a 变式变式 2 2：已知函数 2 15fxxax 在区间(1 2 ,1)上为增函数，那么 2f 的取值范围是_ 变式变式 3 3：已知函数 2 fxxkx 在 2 , 4 上是单调函数，求实数k的取值范围 四四二次函数在给定区间的二次函数在给定区间的最值最值 设 0 2 acbxaxxf ，则二次函数在闭区间 nm , 上的最大、最小值有如下的分布情况： a b nm 2 n
6、a b m 2 即 nm a b , 2 nm a b 2 nfxf mfxf min max a b fxf mfnfxf 2 ,max min max mfxf nfxf min max 对于开口向下的情况，讨论类似其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： （1）若 nm a b , 2 ，则 nf a b fmfxf, 2 ,max max nf a b fmfxf, 2 ,min min 高中数学安徽铜陵姚老师：13866500720 3 （2）若 nm a b , 2 ，则 nfmfxf,max max ， nfmfxf,min min 另外， 当二次函数开口向上时， 自变量的
7、取值离开对称轴越远离开对称轴越远， 则对应的函数值越大函数值越大； 反过来， 当二次函数开口向下时，自 变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小 4. 已知函数已知函数 2 2f xxx， 2 22,4g xxx x ： (1)求求 f x， g x的单调区间；的单调区间；(2) 求求 f x， g x的最小值的最小值 变式变式 1 1：已知函数 2 23fxxx 在区间0,m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 A 1, B 0 , 2 C 1, 2 D , 2 变式变式 2 2：若函数 2 34yx 的最大值为 M，最小值为 m，则 M + m 的值等于_ 变式变式 3
8、3：已知函数 22 4422fxxaxaa 在区间0,2上的最小值为 3，求 a 的值 变式变式 4 4：求二次函数 2 ()26fxxx 在下列定义域上的值域： (1)定义域为 03xZx ；(2) 定义域为 2,1 变式变式 5 5：函数 2 ( )2622fxxxx 的值域是 A 32 2 0 , 2 B 2 0, 4 C 9 20, 2 D 9 2 0 , 2 变式变式 6 6：函数 y=cos2x+sinx 的值域是_ 变式变式 7 7：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a 0） ，满足条件 f (1 + x) = f (1x)，且方程 f (x
9、) = x 有等根 (1)求 f (x) 的解析式； (2)是否存在实数 m、n（m 0 时，方程 0)(xf 只有一个实根； )( xfy 的图象关于点（0，c）对称； 方程 0)(xf 至多有两个实根 上述命题中正确的序号为 七七.恒成立问题的基本类型：恒成立问题的基本类型： 类型类型 1 1：设)0()( 2 acbxaxxf， （1） Rxxf在0)( 上恒成立 00且a ； （2） Rxxf在0)( 上恒成立 00且a 。 类型类型 2 2：设 )0()( 2 acbxaxxf （1）当0a时， ,0)(xxf在 上恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a
10、b 或或 ， ,0)(xxf在 上恒成立 0)( 0)( f f （2）当0a时， ,0)(xxf在 上恒成立 0)( 0)( f f ,0)(xxf在 上恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a b 或或 类型类型 3 3： min )()(xfIxxf恒成立对一切 ； max )()(xfIxxf恒成立对一切 。 类型类型 4 4： )( )()()()()()( maxmin Ix xgxfxgxfIxxgxf 的图象的上方或的图象在恒成立对一切 高中数学安徽铜陵姚老师：13866500720 5 当当, ,a b c具有什么关系时，二次函数具有什么关系时，二次
11、函数 2 f xaxbxc的函数值恒大于零？恒小于零？的函数值恒大于零？恒小于零？ 变式变式 1 1.若不等式 02)1()1( 2 xmxm 的解集是 R，求 m 的范围。 变式变式 2 2：已知函数f(x) = lglg (a x 2 + 2x+ 1) (I)若函数f(x) 的定义域为R，求实数a的取值范围； (II)若函数f(x) 的值域为R，求实数a的取值范围 变式变式 3 3：已知函数 2 ( )3f xxaxa ，若2,2x 时，有( )2f x 恒成立，求a的取值范围 变式变式 4 4：若f(x) =x 2 +bx+c，不论、为何实数，恒有f(sinsin)0，f(2 + cos
12、cos)0 (I) 求证：b+c= 1； (II) 求证：c3； (III) 若函数f(sinsin) 的最大值为 8，求b、c的值 八八根与系数关系根与系数关系 一元二次方程一元二次方程0 2 cbxax，用配方法将其变形为用配方法将其变形为： 2 2 2 4 4 ) 2 ( a acb a b x ；acb4 2 来判来判 断二次方程有几个解；断二次方程有几个解； a b xx 21 ， a c xx 21. ； （韦达定理（韦达定理） 。 例例 8 8：若若 12 ,xx 是方程是方程 2 220090 xx 的两个根，试求下列各式的值：的两个根，试求下列各式的值： (1)(1) 22
13、12 xx；(2)(2) 12 11 xx ；(3)(3) 12 (5)(5)xx；(4)(4) 12 |xx 变式变式 1 1：二次函数 baxy 2 与一次函数 )(babaxy 在同一个直角坐标系的图像为（） 变式变式 2 2：直线 3 mxy 与抛物线 xmxyCmmxxyC)12(:,45: 2 2 2 1 2 3,m 2 3 :323Cyxm xm 中至少有一条相交，则 m 的取值范围是什么? 变式变式 3 3：对于函数 f (x)，若存在 x0 ( R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点如果函数 f (x) = a x 2 + bx +1（a
14、0）有两个相异的不动点 x1、x2 (I)若 x1 1 1 2 ； (II)若 | x1 | 0(开口方向)； c=1(和 y 轴的交点)； 4210ab (和 x 轴的交点)； 10ab ( 10f )； 2 40ba (判别式)； 12 2 b a (对称轴) 3单调性 变式 1： 解：函数 2 42fxxa x 图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 2xa ， 由已知函数在区间 , 6 内单调递减可知区间 , 6 应在直线 2xa 的左侧， 26a ，解得 3a ，故选 D 变式 2：解：函数 2 15f xxax 在区间(1 2 ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称
15、轴 1 2 a x 或与直线 1 2 x 重合或位于直线 1 2 x 的左侧，即应有 11 22 a ，解得 2a ， 241257fa ，即 27f 高中数学安徽铜陵姚老师：13866500720 7 变式 3：解：函数 2 fxxkx 的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是 2 k x ， 已知函数在 2 , 4 上是单调函数，区间2, 4 应在直线 2 k x 的左侧或右侧， 即有 2 2 k 或 4 2 k ，解得 4k 或 8k 4最值 变式 1： 解：作出函数 2 23fxxx 的图像， 开口向上，对称轴上 x=1，顶点是(1，2)，和 y 轴的交点是(0，3)， m 的取值范围是1 2m ，故选 C 变式 2： 解：函数有意义，应有 2 40 x ，解得 22x ， 2 044x ( 2 042x ( 2 0346x ， M=6，m=0，故 M + m=6 变式 3： 解：函数 fx 的表达式可化为 2 422 2 a fxxa 当 02 2 a ，即0 4a 时，
