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1、25 材料力学习题答案 2 7.3 在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的 单位为MPa。 解(a) 如受力图(a)所示 ，70 x MPa70 y MPa 0 xy 30 (1) 解析法计算（注：P217） cos2sin2 22 70707070 cos60035 22 xyxy xy MPa 7070 sincos2sin60060.6 22 xy xy MPa (2) 图解法 作坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由、定Dx O x xy 点, 、定Dy点, 连Dx 、Dy , 交轴于C点, 以C点为圆 y yx 心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示
2、。由CDx起始, 逆时 针旋转2= 60,得点。 从图中可量得点的坐标, DD 便是和数值。 7.4 已知应力状态如图所示，图中应 力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求: (1) 主应力大小，主平面位置； (2) 在单元体上绘出主平面位置 及主应力方向； 26 (3) 最大切应力。 解(a) 受力如图(a)所示 ，50 x MPa0 y 20 xy MPa (1) 解析法 （数 P218） 2 max2 min 22 xyxy xy 2 2 57 500500 20 722 MPa MPa 按照主应力的记号规定 ， 1 57 MPa 2 0 3 7 MPa ， 0 2 2 20 tan20.
3、8 500 xy xy 0 19.3 13 max 577 32 22 MPa (2) 图解法 作应力圆如图(a1)所示。应力圆 与轴的两个交点对应着两个主应 力、 的数值。由顺时针旋 1 3 x CD 转，可确定主平面的方位。应力圆 0 2 的半径即为最大切应力的数值。 主应力单元体如图(a2)所示。 (c) 受力如图(c)所示 ，0 x 0 y 25 xy MPa (1) 解析法 27 2 max2 min 22 xyxy xy 2 2 25 0000 25 2522 MPa MPa 按照主应力的记号规定 ， 1 25 MPa 2 0 3 25 MPa ， 0 2 2 25 tan2 00
4、 xy xy 0 45 13 max 2525 25 22 MPa (2) 图解法 作应力圆如图(c1)所示。应力圆与 轴的两个交点对应着两个主应力、 1 的数值。由顺时针旋转， 3 x CD 0 2 可确定主平面的方位。的长度即为最大切应力的数值。 主应力单元体如题图 x CD (c2)所示。 7.33 对题7.4中的各应力状态， 写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的相 当应力。设，。0.25 1 4 t c 解(a) ， 1 57 MPa 2 0 3 7 MPa （书：247） 11 57 r MPa 2123 570.250758.8 r MPa 313 57764 r MPa 222
5、4122331 1 2 r 28 222 1 5776460.8 2 MPa （书：P250，讲课没有讲） 13 1 57758.8 4 t rM c MPa (c) ， 1 25 MPa 2 0 3 25 MPa 11 25 r MPa 2123 250.2502531.3 r MPa 313 252550 r MPa 222 4122331 1 2 r 222 1 25255043.4 2 MPa 13 1 252531.3 4 t rM c MPa 7.35 车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa、 -900MPa、 -1100MPa。 若 = 300MPa，试对接触点作强度校核。
6、解 ， 1 800 MPa 2 900 MPa 3 1100 MPa 313 800 1100300300 r MPaMPa 222 4122331 1 2 r 2221 800900900 11001100800264 2 MPa 300 MPa 用第三和第四强度理论校核， 相当应力等于或小于许用应力，所以安全。 29 8.3图(a)示起重架的最大起吊重量( 包括行走小车等)为W=40kN， 横梁AC由 两根No.18槽钢组成， 材料 为Q235钢， 许用应力 =120MPa。 试校核横梁的 强度。 解梁AC受压弯组合作 用。当载荷W移至AC中点处时梁内弯矩最大，所以AC中点处横截面为危险截
7、面。 危险点在梁横截面的顶边上。 查附录三型钢表（P406） ，No.18槽钢的A=29.30cm2，Iy=1370cm4 W=152cm3。 根据静力学平衡条件， AC梁的约束反力为： ，0 Ci MF 3.5sin301.750 RA FW ，0 ix F cos300 x RARC FF 由式和可得： ， RA FWcos30cos30 x RCRA FFW 危险截面上的内力分量为： cos3040 cos3034.6 x NRC FFWkN 3.5 sin301.75sin301.75 40 0.535 2 RA MFWkN m 危险点的最大应力 (压) 33 max 46 34.6
8、1035 10 121 2 29.3 102 152 10 N y FM MPa AW 最大应力恰好等于许用应力， 故可安全工作。 30 8.8图(a)示钻床的立柱由铸铁制成， F=15kN，许用拉应力=35 MPa。试确定立柱 t 所需直径d。 解立柱横截面上的内力分量如图(b) 所示，FNF=15kN，M=0.4F=6kNm， 这是一 个拉弯组合变形问题， 横截面上的最大应力 33 max 2323 4324 15 1032 6 10 NN y FFMM AWdddd 根据强度条件，有 max 33 6 23 4 15 1032 6 10 35 10 dd 由上式可求得立柱的直径为：。 0
9、.122122dmmm 8.12 手摇绞车如图(a)所 示， 轴的直径d=30mm， 材料 为Q235钢，=80MPa。 试 按第三强度理论，求绞车 的最大起吊重量P。 解圆轴受力图、 扭 矩图、 弯矩图如图(b)所示。 这是一个弯扭组合变形问题， 由内力图可以判定， C处 为危险截面。其上的弯矩和扭矩分别为 0.40.2 CRA MFP N m 0.18 C TP N m 按第三强度理论： （书P273） 22 TM W 31 将、值代入上式得 C M C T 3 6 22 0.03 80 10 32 788 0.180.2 PN 绞车最大起吊重量为P=788N。 8.13电动机的功率为9k
10、W，转速为715r/min，带轮直径D=250mm，主轴外伸 部分长度，主轴直径d=40mm。若120lmm =60MPa，试用第三强度理论校核轴的强 度。 解这是一个弯扭组合变形问题。显然危险截面在主轴根部。该处的内力 分量分别为： 扭矩： 9 95499549120 715 P TN m n 根据平衡条件，得2 22 DD FFT 22 120 960 0.25 T FN D 弯矩：33 960 0.12346MFlN m 应用第三强度理论 2222 max3 3 32120346 5830000058.360 40 10 MT PaMPaMPa W 最大工作应力小于许用应力，满足强度要求
11、，故安全。 8.14图(a)为操纵装 置水平杆，截面为空心圆形，内 径 d=24mm，外径 D=30mm。材料为 Q235 32 钢， =100MPa。控制片受力 F1=600 N。试用第三强度理论校核杆的强度。 解这是一个弯扭组合变形问题。空心水平圆杆的受力图如图(b)所示。利 用平衡条件可以求出杆上的反力，并作内力图(b)。从内力图可以判定危险截面 在B处，其上的扭矩和弯矩为： 1 0.20.2 600120TFN m 2222 2.6471.271.3 zy MMMN m 应用第三强度理论 2222 max 4 3 3271.3120 8920000089.2100 24 0.031 3
12、0 MT PaMPaMPa W 最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，可以安全工作。 9.3图示蒸汽机的活塞杆AB， 所受的压力F=120kN， =180cm， 横截面为圆形，l 直径d=7.5cm。材料为Q255钢，E=210GPa， 。 规定= 8， 试校核活塞的稳定性。240 p MPa st n 解活塞杆的回转半径 4 2 4 644 Idd i Ad 对于两端铰支杆，=1，所以杆的柔度 1 1.8 96 0.075/4 l i 229 1 6 210 10 92.9 240 10 p E 因，故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷，即 1 294 2 22 210 100.075 64
13、 994000994 1 1.8 cr EI FNkN l 33 工作安全因数： st 994 8.288 120 cr F nn F 工作安全因数大于规定的安全因数，故安全。 9.7 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆 端承受压力。杆长,横截面直径d=15cm。4.5lm 材料为低合金钢，E = 210GPa。两端可简200 p MPa 化为铰支座，规定的稳定安全因数为。 试3.3 st n 求顶杆的许可 载荷。 解 （书P301） 229 1 6 210 10 102 200 10 p E 顶杆的柔度为： 1 4.5 120 /40.15/4 ll id 因,属于大柔度杆，故可用欧拉公式计算
14、临界载荷，即 1 294 2 22 210 100.15 64 25400002540 1 4.5 cr EI FNkN l 顶杆的许可载荷： 2540 770 3.3 cr st F FkN n 9.8 某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。推杆由丝杆通过螺母 来带动。 已知推杆横截面的直径d=13cm,材料为Q255钢， E=210GPa，。240 p MPa 当推杆全部推出时,前端可能有微小的侧移,故简化为一端固定、一端自由的压 杆。 这时推杆的伸出长度为最大 值，。取稳定安全因数 max 3lm 34 。试校核压杆的稳定性。4 st n 解一端固定、另一端自由的压杆的长度系数=2
15、。推杆的柔度为： 2 3 185 /40.13/4 ll id 229 1 6 210 10 92.9 240 10 p E 因,属于大柔度杆,故用欧拉公式计算临界载荷,即 1 294 2 22 210 100.13 64 807000807 2 3 cr EI FNkN l 推杆的工作安全因数，因推杆的工作安全因数大于 807 5.384 150 cr st F nn F 规定的稳定安全因数，所以可以安全工作。 9.15 某厂自制的简易起 重机如(a)图所示,其压杆BD为 20号槽钢,材料为Q235 钢。材 料的E= 200GPa,a=304MPa,b=1.12 MPa，。起重机的最大起重量是200 p MPa240 s MPa W=40kN。若规定的稳定安全因数为,试校核BD杆的稳定性。5 st n 解应用平衡条件图(b) ，0 Ai MF 3 22 40 10 107000107 1.5sin301.5 0.5 NBD W FNkN 查附录三型钢表得：， 2 32.837A
