《知识要点-空间直角坐标系-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识要点-空间直角坐标系-修订编选（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第 5 讲 空间直角坐标系第 5 讲 空间直角坐标系 知识梳理知识梳理 1.右手直角坐标系 右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、xyz 中指； 已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）：),(zyxP 沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向（x0 x0 x| xy0y 时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方向（0y| yx0z0z 时）移动个单位，即可作出点| z 已知点的位置求坐标的方法： 过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴PxyzCBA,CBA,xyz 的坐标分别是，则就是点的坐标cba,),(cbaP
2、 2、在轴上的点分别可以表示为，x), 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(cba 在坐标平面，内的点分别可以表示为;xOyxOzyOz), 0(), 0 ,(),0 ,(cbcaba 3、点关于轴的对称点的坐标为),(cbaPx),(cba 点关于轴的对称点的坐标为；),(cbaPy),(cba 点关于轴的对称点的坐标为；),(cbaPz),(cba 点关于坐标平面的对称点为；),(cbaPxOy),(cba 点关于坐标平面的对称点为；),(cbaPxOz),(cba 点关于坐标平面的对称点为；),(cbaPyOz),(cba 点关于原点的对称点。),(cbaP),(cba 4.
3、 已知空间两点，则线段的中点坐标为),(),( 222111 zyxQzyxPPQ ) 2 , 2 , 2 ( 212121 zzyyxx 2 5空间两点间的距离公式 已知空间两点，),(),( 222111 zyxQzyxP 则两点的距离为 ， 2 21 2 21 2 21 )()()(|zzyyxxPQ 特殊地,点到原点的距离为;),(zyxAO 222 |zyxAO 55以为球心,为半径的球面方程为),( 000 zyxCr 22 0 2 0 2 0 )()()(rzzyyxx 特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为r 2222 rzyx 重难点突破重难点突破 重点:了解空间直角坐标系
4、，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间 的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 问题 1：点到轴的距离为 ),(cbaPy 解析借助长方体来思考， 以点为长方体对角线的两个顶点， 点到轴的距PO,),(cbaPy 离为长方体一条面对角线的长度，其值为 22 ca 2将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系 问题 2：对于任意实数，求的最小, ,x y z 222222 (1)(2)(1)xyzxyz
5、 值 解析在空间直角坐标系中，表示空间点 222222 (1)(2)(1)xyzxyz 到点的距离与到点的距离之和，它的最小值就是点与点( , , )x y z(0,0,0)( 1,2,1)(0,0,0) 之间的线段长，所以的最小值为( 1,2,1) 222222 (1)(2)(1)xyzxyz 。6 3利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线 3 (3)得到一些简单的空间轨迹方程 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点 1: 空间直角坐标系考点 1: 空间直角坐标系 题型 1: 认识空间直角坐标系 例 1 （1）在空间直角坐标系
6、中，表示 （ ） ya A轴上的点 B过轴的平面 yy C垂直于轴的平面 D平行于轴的直线yy （2）在空间直角坐标系中，方程表示xy A在坐标平面中，1，3 象限的平分线 B平行于轴的一条直线 xOyz C经过轴的一个平面 D平行于轴的一个平面zz 【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系 中, 方程表示所有横坐标为 1 的点的集合1x 解析（1）表示所有在轴上的投影是点的点的集合，所以表示经yay)0 , 0(aya 过点且垂直于轴的平面 )0 , 0(ay （2）方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内，1，3 象限的平分线组成的集合xy z 【名师
7、指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如： 经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为)0 , 0 ,(ax),(zya 题型 2: 空间中点坐标公式与点的对称问题 例 2 点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，则的坐),(cbaPz 1 P 1 PxOy 2 P 2 P 标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系 解析因点和关于轴对称, 所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于P 1 PzP 1 PxOy 原点对称,故点的坐标为, 1 P),(cba 4 又因点和关于平面对称,
8、 所以点坐标为 1 P 2 PxOy 2 P),(cba 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找 关系,如借助空间想象,在例 2 中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐 2 P),(cbaP 标为),(cba 【新题导练】 1已知正四棱柱的顶点坐标分别为， 1111 ABCDA B C D(0,0,0), (2,0,0),(0,2,0)ABD ，则的坐标为 。 1(0,0,5) A 1 C 解析正四棱柱过点 A 的三条棱恰好是坐标轴， 1111 ABCDA B C D 的坐标为（2，2，5） 1 C 2平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为
9、ABCD) 3, 2 , 3(),3 , 1 , 1(BA ，则顶点 C 的坐标为 , 顶点 D 的坐标为 )4 , 0 , 1 (M 解析由已知得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得ACMBDM ，)5 , 1, 3( C)11, 2, 1(D 3 已知， 记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为(4,3, 1)MMxaMybMz ，则（ ）c A B C Dabccbacabbca 解析借助长方体来思考, 、分别是三条面对角线的长度。abc ，选 C5,17,10cba 考点 2：空间两点间的距离公式考点 2：空间两点间的距离公式 题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题题
10、型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题 例 3 如图 ： 已知点， 对于轴正半轴上任意一点， 在轴上是否存在一点(1,1,0)AOzPOy ，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。BPAABB 【解题思路】转化为距离问题，即证明 222 PBABPA 解析设 ，), 0 , 0(cP) 0 , , 0(bB X A YB O Z P 5 对于轴正半轴上任意一点，假设在轴上存在一点，使得恒成立，OzPOyBPAAB 则 222 PBABPA 222222222 )0()0()00()00()1 ()01()0() 10() 10(cbbc 即，解得： 22 ) 1(3bb2b
11、所以存在这样的点，当点为时，恒成立BB(0,2,0)PAAB 【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解 决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。 【新题导练】 4已知，当两点间距离取得最小值时，的值为 ( ,5,21), (1,2,2)A xxxBxx,A Bx （ ） A19 B C D 8 7 8 7 19 14 解析 7 5 ) 7 8 (14191214)33()23() 1(| 22222 xxxxxxAB 当时，取得最小值x 8 7 | AB 5已知球面，与点，则球面上的点与点距 222 (1)(2)(3)9xyz( 3,2,5)A A 离的最大
12、值与最小值分别是 。 解析球心，球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是 9 和 36),3 , 2, 1 (ACCA 6已知三点，是否存在实数，使 A、B、C 共线？若存在，( 1,1,2), (1,2, 1),( ,0,3)ABC aa 求出的值；若不存在，说明理由。a 解析 ， 222 ( 1 1)(12)(21)14AB ， 2222 ( 1)(10)(23)(1)2ACaa ， 2222 (1)(20)( 13)(1)20BCaa 因为，所以，若三点共线，有或，BCAB, ,A B CBCACABACBCAB 若，整理得：，此方程无解；BCACAB 2 518190aa 6 若，整理
13、得：，此方程也无解。ACBCAB 2 518190aa 所以不存在实数，使 A、B、C 共线。a 抢分频道抢分频道 基础巩固训练基础巩固训练 1将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将轴与轴，轴与轴所成的角xyxz 画成（ ） A B C D 0 90 0 135 0 45 0 75 解析：选 B 2. 点在平面上的投影点的坐标是 （ ）(3,4,5)Pyoz 1 P A B C D (3,0,0)(0,4,5)(3,0,5)(3,4,0) 解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选 B 3. 三棱锥中，此三棱锥的体积为（ ）ABCO )3 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 ,
14、0 , 2(),0 , 0 , 0(CBAO A1 B2 C3 D 6 解析 两两垂直，OCOBOA,1321 2 1 3 1 ABCO V 4 （2007 山东济宁模拟）设点 B 是点 A(2,-3,5)关于平面的对称点，则|AB|等于( )xOy A10 B C D38 1038 解析 A 点 A(2,-3,5)关于平面的对称点为,xOy)5, 3, 2(B 10)5(5)3(3)22( 222 AB 5 （2007 年湛江模拟）点关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为)3 , 2 , 1 (Py 1 PPxOz ，则= 2 P| 21P P 解析 ，)3, 2 , 1( 1 P)3 ,
15、2, 1 ( 2 P56| 21 PP 6正方体不在同一表面上的两顶点 P（-1，2，-1） ，Q（3，-2，3） ，则正方体的体积是 7 解析 不共面，为正方体的一条对角线，正方体的棱长为 4，QP,PQ34PQ 体积为 64 综合提高训练综合提高训练 7空间直角坐标系中，到坐标平面，的距离分别为 2，2，3 的点有xOyxOzyOz A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个 解析 ： 8 个。 分别为 （3， 2， 2） 、（3， 2， -2） 、（3， -2， 2） 、（3， -2， -2） 、（-3， 2， 2） 、（-3， 2， -2） 、（-3， -2， 2） 、 （-3，-2，-2） 8（2007 山东昌乐模拟） 三角形的三个顶点的坐标为，ABC)4 , 1, 6(),3 , 2 , 4(),11, 2, 1 (CBA 则的形状为（ ）ABC A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 解析 C 89)311()22()41 (| 222 AB 75)411() 12()64(| 222 AC 14)43() 12()64(| 222 BC
