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1、 高一数学必修 1 知识网络 集合 1 2 3 4 12n xAxBABAB AnA （）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ） （ ）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素（ ）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （ ）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 子集：若 ，则，即 是 的子集。 、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有个， 注 关系 集合 集合与集合 00 (2 -1) 2 3, , ,. 4 / n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAAB
2、BAAB 真子集有个。 、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么 、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。 集合相等：且 定义：且 交集 性质：， 运算 , / ()( )( )-() / ()()()()()() U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABAABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B ， 定义：或 并集 性质：， 定义：且 补集 性质：， ()()() UUU CABC AC B 函数
3、 , , ABAx ByfBAB xyx fyyxy 映射定义：设 ， 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合 中的任意一个元素 ， 在集合 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 ：为从集合 到集合 的一个映射 传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于 在某个范围内的每一个确定的值， 定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么 就是 的函数。记作 函数及其表示 函数 ( ). ,()()( ), 1212 ()()( ), 12 fx a ba xxbfxfxfxa ba b fxfxfxa ba b a 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。 定
4、义域 函数的三要素值域 对应法则 解析法 函数的表示方法列表法 图象法 单调性 函数的基本性质 传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是 递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。 导数定义：在区间 ( )1( ) 2()( ) 00 ,( ) 0( ),( ) 0 ( ), yfxIMx IfxM xIfxMMyfx bfxfxa ba bfx fxa ba b 最大值：设函数的定义域为 ，如果存在实数满足：（ ）对于任意的，都有； （ ）存在，使得。则称是函数的最大值 最值 最 上，若，则在上递增,是递增区间；如 则在上递减,是的递减区间。 ( )1( ) 2()( ) 00 (1)()(
5、),( ) (2)()( ),( ) yfxINx IfxN xIfxNNyfx fxfx xDfx fxfx xDfx 小值：设函数的定义域为 ，如果存在实数 满足：（ ）对于任意的，都有； （ ）存在，使得。则称 是函数的最小值 定义域 ，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。 奇偶性定义域 ，则叫做偶函数，其图 ( )()( )(0)( ) ( ) 1 ,() 11 2 y fxfx TfxTfxT Tfx yy xa xyfx a a 象关于 轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性：在函数的定义域上恒有的常数 则叫做周期函数， 为周期； 的最小正值叫做的最小正周期，简称周期 （ ）
6、描点连线法：列表、描点、连线 向左平移 个单位： 向右平移 个 平移变换 函数图象的画法 （ ）变换法 ,() 11 ,( ) 11 ,( ) 11 101 1 1/() 1 1)01) 1 yy xa xyfx a bxx yb yy bfx bxx yb yy bfx xww wxwxyfwx yAA 单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 横坐标变换：把各点的横坐标 缩短（当时）或伸长（当时） 到原来的倍（纵坐标不变），即 伸缩变换 纵坐标变换：把各点的纵坐标 伸长（或缩短（到 /( ) 1 22 1010 (,)2(2) 0000 22 1010 22 1010 (2) 00
7、11 11 2( 00 22 1010 A yyAyfx x xxxxx xyyyfxx y yyyyy x xxxxx x xyfxx y yyy x xxx y yyyf yyyyyy 原来的 倍 （横坐标不变）， 即 关于点对称： 关于直线对称： 对称变换 关于直线对称： ) 1 1 ( ) 1 x x x y xyfx y y 关于直线对称： 附： 一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于 零； 4、 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1； 5、 三角函数正切函数tanyx中 () 2 xkkZ ；余切函数coty
8、x中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式， 应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法： 1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、 直接法 四、函数的最值的常用求法： 1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论： 1、若( ), ( )f x g x均为某区间上的增（减）函数，则( )( )f xg x在这个区间上也为 增（减）函数 2、若( )f x为增（减）函数，则( )
9、f x为减（增）函数 3、若( )f x与( )g x的单调性相同，则 ( )yf g x是增函数；若( )f x与( )g x的单 调性不同，则 ( )yf g x是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作 函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论： 1、如果一个奇函数在0 x 处有定义，则(0)0f，如果一个函数( )yf x既是 奇函数又是偶函数，则( )0f x （反之不成立） 2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（
10、商）为奇函数。 4、两个函数( )yf u和( )ug x复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那 么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数( )f x的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则( )f x可 以 表 示 为 11 ( ) ( )() ( )() 22 f xf xfxf xfx，该式的特点是：右端为一个奇函数 和一个偶函数的和。 ,( )0( ) ( ) ,( )( )0, ( ) ,( ,),( )0, ( )0 ( )0 yf xfxxyfx yfxa bfaf b yfxa bca bf cc fx fx 零点：对于
11、函数（ ）我们把使的实数 叫做函数的零点。 定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 零点与根的关系 那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个 也是方 程的根。（反之不成立） 关系：方程 函数与方程 函数的应用 ( )( ) (1) ,( )( )0, (2)( ,); (3)( ) ( )0, ( )( )0,( ,) 0 ( )( )0, 0 yfxyfxx a bfaf b a bc fc f cc faf cbcxa b f cf bacx 有实数根函数有零点函数的图象与 轴有交点 确定区间验证给定精确度 ； 求区间的中点 计算； 二分法求方程的近似解 若则 就是函数的
12、零点； 若则令（此时零点）； 若则令（此时零点( ,) (4)-,();24 c b abab ）； 判断是否达到精确度 ：即若则得到零点的近似值或否则重复。 几类不同的增长函数模型 函数模型及其应用用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 , (0, ,) ()(0, ,) ()(0,0,) (01) 1 lo mn a na nm n aa rsrs a aaar sQ r srs aaar sQ rr s aba babrQ x yaaa x 根式：为根指数， 为被开方数 分数指数幂 指数的运算 指数函数性质 定义：一般地把函数且叫做指数函数。 指数函数 性质：见表 对数： 基本初
13、等函数 对数的运算 对数函数 g, log()loglog; logloglog; . loglog;(0,1,0,0) log log(01) 1 log ( ,0,1,0) log c a c N aN a MNMN aaa M MN aaa N n MnMaaMN aa yx aa a b ba ca cb a 为底数，为真数 性质 换底公式： 定义：一般地把函数且叫做对数函数 对数函数 性质：见表 且 yxx 幂函数 定义：一般地，函数叫做幂函数， 是自变量，是常数。 性质：见表2 表表 1 指数函数 0,1 x yaaa 对数数函数 log0,1 a yx aa 定 义 域 xR 0
14、,x 值 域 0,y yR 图 象 性 质 过定点(0,1)? 过定点(1,0) 减函数 增函数 减函数 增函数 (,0)(1,) (0,)(0,1) xy xy 时， 时， (,0)(0,1) (0,)(1,) xy xy 时， 时， (0,1)(0,) (1,)(,0) xy xy 时， 时， (0,1)(,0) (1,)(0,) xy xy 时， 时， ab ab ab ab 表表 2 幂函数()yxR p q 0 01 1 1 p q 为奇数 为奇数 奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数 第一象限 性质 减函数 增函数 过定点 01（ ， ） 高中数学必修高中数学必修 2 一、直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：x 轴正向正向与
