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1、v1.0 可编辑可修改 1 1 离散型随机变量 1. 随机变量 ：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示（随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母 X，Y，、等表示 2. 离散型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验 的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不
2、可以一一列出 注： 若是随机变量， ? Skip Record If.? 是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型） 例题： 1. 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，试问：“ 4 ”表示的试验 结果是什么 . 某寻呼台一小时内收到的寻呼次数? Skip Record If.? ；长江上某水文站观察到一天中的水位? Skip Record If.? ；某超市一天中的顾客量? Skip Record If.?其中的 ? Skip Record If.? 是连续型随机变量的是（） A；B、；C ；D .随机变量 ? Skip Record If.?
3、 的所有等可能取值为? Skip Record If.? ，若 ? Skip Record If.? ，则（） A? Skip Record If.? ；B ? Skip Record If.? ；C、? Skip Record If.? ；D不能确定 3. 如果 ? Skip Record If.? 是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. ? Skip Record If.? 取每一个可能值的概 率都是非负数； B. ? Skip Record If.? 取所有可能值的概率之和为1； C. ? Skip Record If.? 取某几个值的概率等于分别取 其中每个值的概率之和； D 、
4、 ? Skip Record If.? 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 v1.0 可编辑可修改 2 2 离散型随机变量的分布列 1.分布列 : 设离散型随机变量可能取得值为x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为 ? Skip Record If.? ，则称表 为随机变量的概率分布 ，简称 的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足: ? Skip Record If.? ，并且不可能事件的概率为0，必然 事件的概率为1由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： Pi0，i1，2，；P1+P2+=1 对于离散型随机变量
5、在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即? Skip Record If.? 3. 两点分布列 : 像上面这样的分布列称为两点分布列 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布而称 ? Skip Record If.? =P (X = 1 ）为 成功概率 两点分布又称0一1 分布 由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利 （ Bernoulli ) 试验 ， 所以还称这种分布为伯努利分布 ? Skip Record If.? ，? Skip Record If.? ，? Skip Record If.? ，? Skip Record If.? x1x2xi PP1
6、P2 Pi 01 P ? Sk ip Reco rd If. . ? ? S kip Rec ord If. . ? X01 ? Skip Record v1.0 可编辑可修改 3 3 4.超几何分布列：一般地，在含有M 件 次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 X=k 发生的概率为? Skip Record If.? , 其中 ? Skip Record If.? ，且 ? Skip Record If.? 称分布列 为超几何分布列 如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布) . 注： 1. 超几何分布的两个特点：(1) 超几何分
7、布是不放回抽样问题(2) 随机变量为抽到的某类个体的个数 2. 超几何分布的应用：超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小 球等概率模型 例题：1. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10 个红球和 20 个白球，这些球除颜色外完全相同一 次从中摸出5 个球，至少摸到3 个红球就中奖求中奖的概率P (X 3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 ) 注 超几何分布的上述模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件” . 如果是有放回地抽取， 就变成了重贝努利试验，这时概率分布就是二
8、项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 2一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个 数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中随机取出一个球，若取出红球 得 1 分，取出黄球得0 分，取出绿球得1 分，试写出从该盒中取出一球所得分数 的分布列 3. 某一射手射击所得的环数 的分布列如下： 45678910 P 求此射手“射击一次命中环数7”的概率 If.? P ? Skip Record If.? ? Skip Record If.? ? Skip Record If.? 101 P ? Ski p Recor d If. ? ? Sk
9、ip Reco rd If. . ? ? Ski p Recor d If. ? v1.0 可编辑可修改 4 4 4. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于 ( ) 1 2 2 5. 从一批含有13 件正品， 2 件次品的产品中，不放回地任取3 件，则取得次品数为1 的概率是 ( ) A. 32 35 B 、12 35 C. 3 35 D. 2 35 6. 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著三国演义、 水浒传、 西 游记 、 红楼梦与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也 只能与一本名著连线，每连对一个得2 分，连错得 1 分，某观众只知道三国演
10、义的作 者是罗贯中， 其他不知道随意连线，将他的得分记作 . (1) 求该观众得分 为负数的 概率； 1/3 (2)求的分布列 7. 随机变量X的概率分布规律为P(Xn) a nn1 (n1,2,3,4)，其中a是常数，则P( 1 2X 0 ，那么，在“ A已发生”的条件下，B发生的 条件概率 . ? Skip Record If. ? 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率 ? Skip Record If.? . 由这个定义可知， 对任意两个事件A 、B， 若 ()0P B? Skip Record If.? ，则 ()(|)( )P ABP B AP A ? Skip Record If
11、.? . 例题：1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S=1， 2，3，4，5，6，令事件 A=2，3，5，B=1，2，4，5，6， 求 P（A） ，P（B） ，P（AB） ，P（AB ） 。 2. 有一批种子发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中随机取一粒，则这粒种子能长成幼苗的概率 . X 101 P 1 2 12qq 2 128 P 1 3 1 2 1 6 101 Pabc X01234 Pm v1.0 可编辑可修改 5 5 3. 已知盒中装有3 个红球、 2 个白球、 5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在 他第一次拿到白球的条件下，第二
12、次拿到红球的概率( ) A. 3 10 B 、 1 3 C. 3 8 D. 2 9 4. 某人一周晚上值班2 次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为_ 1/6 相互独立事件：设 A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件 A与事件 B相互独立，即事件? Skip Record If.? （或? Skip Record If.? ）是否发生对事件 ? Skip Record If.? （或? Skip Record If.? ）发生的概率没有影 响，这样的两个事件叫做相互独立事件 注： 1. 若? Skip Record If
13、.? 与? Skip Record If.? 是相互独立事件，则? Skip Record If.? 与? Skip Record If.? ，? Skip Record If.? 与? Skip Record If.? ，? Skip Record If.? 与? Skip Record If.? 也相互独 立 2相互独立事件同时发生的概率：? Skip Record If.? 3. 互斥事件 : 不可能同时发生的两个事件? Skip Record If.? 一般地：如果事件? Skip Record If.? 中的任何两个 都是互斥的，那么就说事件? Skip Record If.? 彼此
14、互斥 4. 对立事件 :必然有一个发生的互斥事件? Skip Record If.? 5. 互斥事件的概率的求法:如果事件 ? Skip Record If.? 彼此互斥，那么? Skip Record If.? ? Skip Record If.? 例题： 1. 甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么其中至少有1 人解决 这个问题的概率是( ) A B C D 、 2. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局获胜的 概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) D、3 4 3. 两个实习生每人
15、加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2/3 和 3/4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个 零件中恰有一个一等品的概率为 5/12. 3/5 3/70 4. 三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码 被译出的概率为 v1.0 可编辑可修改 6 6 5. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 1/70、1/69、1/68，且各道工序互不影响，则加 工出来的零件的次品率为_ 6. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的 概率分别为 ,. 假设各盘比赛结果相互独立(1) 求红队至少两名队员获胜的概率； (2) 用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E() 独立重复实验与二项分布 1所谓独立重复试验，是在相同的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，也叫贝努里试验 特点：每一次试验的结果只有 两种(某事要么发生，要么不发生 )，且任何一次试验中发生的概率都是一样的 2一般地，在 n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，如果在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n 次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次的概率为P
