立体几何大二轮复习的策略--修订编选

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1、v1.0 可编辑可修改 1 P A C B N M 立体几何的解题思路 四川省成都第七中学张世永巢中俊周建波 高中数学课程标准建议： 立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学 会将自然语言转化为图形语言和符号语言. 教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作 为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过 对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法， 学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问 题。 理科学生不仅要掌握必修2立体几何初步，还要掌握选修2-1空间中的向量与立 体几

2、何 .文科学生要求掌握必修2立体几何初步，为了更好地解答立体几何问题，建 议教师补充讲授选修2-1 空间中的向量与立体几何中的坐标法，让文科学生能熟练地使 用坐标法， 而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科 学生不要求掌握求二面角的问题。 一. 求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间 两直线所成角，常常要借助于平面的法向量. 要善于一题多变. 例 1 （1）已知直线ba,所成角为 o 60，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、b 所成角均为 o 60，则这样的直线l有几条 解：经过点P作直线 mnm, o 60 120nm,

3、nm, o 60nm,30nm, o 60 o 60 问题的推广：已知直线ba,所成角为 o 60，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、 b所成角均为，这样的直线l有四条，则角应满足什么条件有两条呢有一条呢有零条呢 答案：有四条时， oo 9060； 有两条时， oo 6030； 有一条时， oo 90,30 ; 有零条时， 300 . 变式： （ 1）已知直线a与平面所成角的大小为 o 60，经过空间中一点P作直线l，使 直线l与直线a和平面所成角均为 o 45，则这样的直线l有几条 （2）已知平面与平面所成锐二面角的大小为 o 60，经过空间中一点P作直线l，使 直线l与平面和平面所成

4、角均为 o 60，则这样的直线l有几条 (3) 正三棱锥PABC中， CM=2PM ，CN=2NB ，对于以下结论： 二面角BPA C大小的取值范围是（ 3 ，）； 若 MN AM ，则 PC与平面 PAB所成角的大小为 2 ； v1.0 可编辑可修改 2 过点 M与异面直线PA和 BC都成 4 的直线有3 条； 若二面角BPAC 大小为 3 2 ，则过点N 与平面PAC和平面PAB 都成 6 的直线有3 条正确的序号是 解：(1) 经过点P作平面的法向量n， 则问题转化为“已知直线na,所成角为 30或 150，经过点P作直线l，使直线l与na,所成角均为45，则这样的直线l有几条”由例 1

5、 容易得到这样的直线l有两条 . (2) 经过点P作平面的法向量m， 平面的法向量n， 则问题转化为 “ 已知直线nm, 所成角为60 或120，经过点 P作直线l，使直线l 与nm,所成角均为30，则这样的直线 l有几条”由例1 容易得到这样的直线l有一条 . (3) 仿照（ 1） （ 2）可以得到答案 二. 高考中有较大部分题都可以转化为以正方体为背景的问题，为此新编以正方体为 背景的系列题：相同条件为“正方体 1111 DCBAABCD棱长为 1”. 1. 正方体 1111 DCBAABCD棱长为 1， E,F 是 BD上的动点，且BDEF 2 1 . （1）当 E在 BD中点时， F

6、恰在 B点，求二面角 11 CEFB大小； （2）当 EF在 BD上运动时，该二面角是否发生变化 解：（ 1） 取 11D B中点 O,易知 11 EFBOC面, 设二面角 11 CEFB 大小为. ， 3 6 cos 1 EFC EFO S S 二面角 11 CEFB大小为 3 6 arccos （2）由（ 1）中求二面角的方法可知，无论EF在 BD上的什么位置， ， 3 6 cos 1 EFC EFO S S 二面角 11 CEFB的大小不变 . 2. 正方体 1111 DCBAABCD棱长为 1， P为 11B A的四等分点， Q为 11C D中点， O为平面BBAA 11 的中心 .

7、（1）求证： OC与 PQ共面； （2）求 : 平面 OPQC 与平面BBAA 11 的夹角 . （1）证明：取 11B A中点 H，连结 BH,HQ. v1.0 可编辑可修改 3 易证CQBH /,又HBAOP 1 为中位线，CQOPBHOP/,/ OC与 PQ共面 . （2）连结 OQ,过 O作 PQOM , 连结 MH MHPQOMHPQPQOM PQOHPHQOH , , 面又 面 OMH为面 OPQC 与面BBAA 11 的夹角 . . 2 17 arctan . 2 17 tan, 17 17 , 2 1 , 1, 4 1 OMH OMHMHOHHQPH 三 . 高考中有一部分题都

8、是以三棱柱为背景的问题，为此新编以三 棱柱为背景的系列题. 例 3斜三棱柱 111 CBAABC的底面是等腰三角形，AB=AC ，上底面的 顶点 1 A在下地面的射影是ABC的外心，, 3 , 1AB AaBC棱柱 的侧面积为 2 32a （1）证明：侧面BBAA 11 和CCAA 11 为菱形， 11BCC B是矩形； （2）求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小； （3）求棱柱的体积 （1）证明：BCOAABCOA 11 ,面, 又ABC的外心为O,AB=AC,BCAO , 11 BBBCAABC四边形 11BCC B是矩形 . BAAAOBARtOAARtOBOA 1111 , 又ABAAB

9、A 11 ,60 为 正 三 角 形. 四边形BBAA 11 为菱形，同理, 可证四边形CCAA 11 为菱形 . （2）,0)3)(23(,3260sin2, 22 axaxaaxxSxACAB即 侧 v1.0 可编辑可修改 4 ax 3 32 过 B作 BD 1 AA，则 D为 1 AA中点， 1 AACD 又BCDBBCCAAAABC,/, 1111 的三内角即为所求 BCDBCCDaBDaAD, 3 3 为正三角形，三个二面角均为60 3 11 2 6 1 3 1 , 13 12 , 13 12 3 2 , 12 13 2 1 3aOASVaOAaAOaS ABCABC ）（ 或 32

10、 1 6 1 3 32 4 3 3 1 3 1 aaaAASV BCD 四 . 高考中有一部分题都是以三棱锥为背景的问题，为此新编以三棱锥为背景的系列 题. 例 4已知三棱锥P-ABC ，PAC与PBC都是边长为2的等腰 三角形， AB=2,D为 AB中点 . （1）求证PDCAB面; （2）求三棱锥P-ABC体积 . （1）证明：,2PBPACBAC又 D为 AB中点， AB=2. .ABD,DCPD, 1 PDCABPDABDC平面又 （2）,2CBACD为 AB中点， AB=2 ，.1,DCABDC 同理，,90, 2,2, 1 2 PDPCPDCPCPCPD即又 . 3 1 PDCBP

11、DCAABCP VVV 五. 高考中的补形问题 1. 将正四面体补形成正方体 v1.0 可编辑可修改 5 解析：选A 2.把三条棱相互垂直的三棱锥补成长（正）方体 例 2 在球面上有四点 ,P A B C，如果,PA PB PC 两两互相垂直，且PAPBPCa，那么这个 球的表面积是 解析：如图，把三棱锥PABC补形为一个棱长为 a的正方体，则正方体的对角线即为球的直径，因为 23Ra，所以 22 43SRa 球表面积 3.把对棱相等的四面体补成长方体 例 3 已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为 2 5,13,5，求四面体的体积. 解析：如图，把四面体 SABC补形为长方体ADBEGSH

12、C， 设长方体的长，宽，高分别为 , ,a b c， 则有 222222222 (25) ,( 13) ,5abbcca，联立以上 三式并解之得： 4,2,3abc ，故 111 448 323 SABCSABD VVVabcabcabc 长方体 4.把三棱锥补成四棱锥（或三棱柱或平行六面体） 例 4 在四面体ABCD中，设1,3ABCD，直线 AB 与CD的距离为 2，夹角为 3 ，则四面体的体积等于 v1.0 可编辑可修改 6 解法 1 如图，将四面体ABCD补成四棱锥ABDCE，且 / /,BECD BECD，则 2 ,3 33 ABEBE或， / /CDABE平面，所以CD与AB的距离

13、即为CD到平面ABE 的距离，亦即 C到平面ABE的距离也就是三棱锥CABE的高2h 所以 1111 2sin 33232 ABCDABECCABEABE VVVh SABBE 解法 2 如图，把四面体ABCD补成三棱柱ABE FCD，则面/ /ABE 面,/ /CDF ABCF，且1CF，则AB与CD的距离就是平面ABE与 平面FCD的距离，即三棱柱的高2h，且 2 33 DCF或. 所以 13 sin2 232 FCD VShCD CF 柱 ，故四面体的体积为1 1 32 V柱 解法 3 如图 6，把四面体 ABCD补成平行六面体， 则四面体的体积是平行六面体体积的 1 3 . 13 13

14、sin2 232 VSh 平行六面体底 , 故四面体的体积为 1 2 . 结论 :在四面体 ABCD中，设,ABa CDb， 直线 AB与CD的距离为h，夹角为 ，则 四面体的体积为 1 sin 6 Vabh 5.把首尾相连两两垂直的三棱锥补成长（正）方体 例 5 如图，,90PAABCACB平面，且 PAACBCa，则异面直线PB与AC所 成角的正切值为 v1.0 可编辑可修改 7 解析：把四面体 PABC 补成正方体， / /ACDB设异面直线 PB与AC所成角为 ， 要求异面直线 PB与 AC所成角正切值， 即求PB与DB所成角的正切值， 2 tan2 PDa DBa 6.把四棱锥补成长

15、（正）方体 例 6 如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为1 的正方形， SD垂直于底面,3ABCDSB. (1) 求证：BCSC； (2) 求面ASD与面BSC所成二面角大小. 证与解：因为1ABBC，所以1SD， 故可把原四棱锥补成长方体 111ABCDA B C S （1）因为 1 BCSDCC面 ，所以 BCSC （2）连 1 A B，则面ASD与面BSC所成的二面角， 即为面 1 ADSA 与 1 BCSA 所成的二面角. 因为 11 ,A SSD A SSC，所以CSD为所求二面角 的平面角，45CSD，故所求二面角为45. 例 7 如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD为矩

16、形， 侧棱,PAABCD底面3,AB 1,BC 2PA，求直线AC与PB所成角的余弦值. 解析：如图 9 所示，把四棱锥PABCD补成长方体 111 PBC DABCD，连结 11 ,/ /,PC PCAC所以 1 BPC 为AC与PB所成的角，连结 1, BC在 1 PBC中， 由余弦定理可得： 1 5 7 cos 14 BPC， 故直线AC与PB所成角的余弦值为 5 7 14 v1.0 可编辑可修改 8 7.把相互垂直的两长（正）方形补成长（正）方体 例 8 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的 平面互相垂直，2,1,ABAFM是线段EF的中点. （ 1）求证：/ /AM平面BDE； （ 2）求二面角ADFB的大小. 解析：如图，将原几何体补成长方体 11ABCDFB ED （1）设AC与BD的交点为 O，连结OE，则易知 / /OEAM，故/ /AM平面BDE （2）由长方体的性质知， 1 BAADD F面，过A作 AGDF，连BG，则BGDF，所以AGB 为所求二面角的平面角