《相似三角形证明技巧_专题9595-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似三角形证明技巧_专题9595-修订编选（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为 1 的特殊相似形，相似 形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨 论又是以全等形的有关定理为基础 二、相似三角形二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：三角形相似的条件： ； ； . 三、两个三角形相似的六种图形：三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图
2、形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，
3、两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理 1 或判定定理 4 找顶角对应相等 判定定理 1 找底角对应相等 判定定理 1 找底和腰对应成比例 判定定理 3 e)相似形的传递性 若12，23，则13 五、 “三点定形法” ，五、 “三点定形法” ，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式 前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三 角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不 同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角
4、形相似就行了，这叫做“竖定” 。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 b)己知两边对应成比 例 c)己知一个直 角 d)有 等 腰 关 系 a)已知一对等 角 2 例1、已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ） 例 2、如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，BAC 的 平分线分别交 BC、CD 于点 E、F，ACAE=AFAB 吗？ 说明理由。 分析方法： 1）先将积式_ 2）_（ “横定”还是“竖定”？ ） 已
5、知：如图，ABC 中，ACB=900，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于 F。 求证：CD2=DEDF。 分析方法： 1）先将积式_ 2）_（ “横定”还是“竖定”？ ） 六、过渡法（或叫代换法）六、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面 分情况说明 1、 等量过渡法（等线段代换法）、 等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上， 不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件 找到与
6、比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代 换的线段再代换回来。 例 1： 如图 3， ABC 中， AD 平分BAC， AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E 求证 ： DE2BECE 分析： 3 2、 等比过渡法（等比代换法）、 等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第 三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个 比相等的比，并进行
7、代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例 2：如图 4，在ABC 中，BAC=90，ADBC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于点 F 求证： ABDF ACAF 3、等积过渡法（等积代换法）、等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。 例3： 如图5， 在ABC中， ACB=90， CD是斜边AB上的高， G是DC延长线上一点， 过B作BEAG， 垂足为
8、 E，交 CD 于点 F 求证：CD2DFDG 小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。 ”不相似，不用急：等线等比来代替。 ” 同类练习：同类练习： 1如图，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且ADE=C 求证：（1）ADEACB; (2)ADAB=AEAC. 4 2 如图，ABC 中，点 DE 在边 BC 上，且ADE 是等边三角形，BAC=120 求证：（1）ADBCEA; (2) DE=BDCE; (3) ABAC=ADBC. 3 如图， 平行四边形 ABCD 中，E
9、为 BA 延长线上一点， D=ECA. 求证：ADEC=ACEB . （此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决） 4 如图，AD 为ABC 中BAC 的平分线，EF 是 AD 的垂直平分线。求证：FD=FCFB。 （此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。 ） 5如图，E 是平行四边形的边 DA 延长线上一点，EC 交 AB 于点 G,交 BD 于点 F,求证：FC=FGEF. （此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。 ） 5 6如图，E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点，连接 AE 交 CD 于 F
10、,过 F 作 FMBE 交 DE 于 M.求证：FM=CF. (注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替 代可以解决。) 7如图，ABC 中，AB=AC,点 D 为 BC 边中点，CEAB,BE 分别交 AD、AC 于点 F、G，连接 FC. 求证：（1）BF=CF. (2)BF=FGFE. 8如图，ABC=90,AD=DB,DEAB,求证：DC=DEDF. 9如图，ABCD 为直角梯形，ABCD,ABBC,ACBD。AD= BD，过 E 作 EFAB 交 AD 于 F. 是说明：（1）AF=BE;(2)AF=AEEC. 10ABC 中,BAC=9
11、0,ADBC,E 为 AC 中点。 求证：AB:AC=DF:AF。 6 11 已知， CE 是 RTABC 斜边 AB 上的高， 在 EC 延长线上任取一点 P,连接 AP,作 BGAP,垂足为 G， 交 CE 于点 D.试证：CE=EDEP. (注：此题要用到等积替代，将 CE用射影定理替代，再化成比例式。) 七、证比例式和等积式的方法：七、证比例式和等积式的方法： 对线段比例式或等积式的证明：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式 或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似 三角形来
12、证明 可用口诀：可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替；平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂两端各自找联系，可用射影和园幂 例例 1如图 5 在ABC 中，AD、BE 分别是 BC、AC 边上的高，DFAB 于 F，交 AC 的延长线于 H， 交 BE 于 G，求证：(1)FG / FAFB / FH (2)FD 是 FG 与 FH 的比例中项 1 说明 ：说明 ： 证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似找相似三角形用三点定形
13、法(在比例式中， 或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找 等比代换 例 2如图 6，ABCD 中，E 是 BC 上的一点，AE 交 BD 于点 F，已知 BE：EC3：1， SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 2 说明：说明：线段 BF、FD 三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比 定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的 平方，求出三角形的面积 图 5 A E F BD G C H C A D BE F 图 6 7 例3如图7在ABC中，
14、AD是BC边上的中线， M是AD的中点， CM的延长线交AB于N 求 ： AN： AB 的值； 3 说明：说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当 已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡 例例 4如图 8 在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC 交 AC 于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G求证：AG 2AFFC 4 说明：说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要 证明的两个三角形相似 、 例 5如图在ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 ADAC，DEB
15、C，交 AB 于点 E，EC 交 AD 于点 F(1) 求证：ABCFCD；(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长 5 说明：说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似再由相 似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长 B E A C D M N AB C E D G F A E B DM C F 8 例 6如图 10 过ABC 的顶点 C 任作一直线与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和 E过点 D 作 DMFC 交 AB 于点 M(1)若 SAEF：S四边形 MDEF2：3，求 AE：ED； (2)求证：AEFB2AFED 6 说明：说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性 质得到两线段的比注意平截比定理的应用 例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1， P是CD边的中点， Q在线段BC上， 当BQ为何值时， ADP 与QCP 相似？ 7 说明：说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点 P 所在的位置本题是开放 性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解 例例 8己知如图 1
