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1、极坐标与参数方程极坐标与参数方程 一、参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个变数 t 的函 数，即 )( )( tfy tfx 并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上 的点在方程上， 方程的解都在曲线上） ， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程， 联系x、 y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线
2、方程的不同形式,一般地可以通过消去参通过消去参 数数而从参数方程得到普通方程从参数方程得到普通方程. 练习练习 1若直线的参数方程为，则直线的斜率为（若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ） 12 () 23 xt t yt 为参数 A B C D 2 3 2 3 3 2 3 2 2下列在曲线上的点是（下列在曲线上的点是（ ） sin2 () cossin x y 为参数 A B C D 1 ( ,2) 2 3 1 (, ) 4 2 (2, 3)(1, 3) 3将参数方程化为普通方程为（将参数方程化为普通方程为（ ） 2 2 2sin () sin x y 为参数 A B C D2yx2yx2
3、(23)yxx 2(01)yxy 注：注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3 可知）。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数 不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3圆的参数方程3圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为 ，点从初始位置出发，按逆时针方向在 圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为 的圆的参数方程，其中的几何意义是 转过的角度（称为旋转角）。 圆心为，半径为 的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4椭圆的参数方程4椭圆的参数方程 以 坐 标 原 点为 中 心 ， 焦 点 在轴 上 的 椭 圆 的 标 准
4、 方 程 为 其参数方程为，其中参数称为离心 角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为 其中参数仍为离心角离心角， 通常规定参数的范围为0， 2）。 注：注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角离心角，要把 它和这一点的旋转角旋转角区分开来， 除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相 等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但 当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5双曲线的参数方程5双曲线的参数方程 以 坐 标 原 点为 中 心 ， 焦 点 在轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 其 参 数 方 程 为， 其 中 焦点在轴上的双曲线的标
5、准方程是其参数方程为 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6抛物线的参数方程6抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为 7直线的参数方程7直线的参数方程 经过点，过，倾斜角为的直线 的参数方程为 。 注：注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直 线 的参数方程为，其中 表示直线 上以定点为起 点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时， 0；当点在下方时， 0；当点与重合时， =0。我们也可以把参 数 理解为以为原点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标， 其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 北京高考近几年真题 （2014 年北京.3
6、 题 5 分）曲线（为参数）的对称中心（ ） 1 cos 2sin x y 在直线上 在直线上 . A2yx.B2yx 在直线上 在直线上.C1yx.D1yx （2012 年北京.9 题 5 分）直线 2 1 xt yt （t为参数）与曲线 3cos 3sin x y （为参数） 的交点个数为 （2014 年北京.3 题 5 分）答案：B （2012 年北京.9 题 5 分）答案：2 二、极坐标方程 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 极坐标系有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引 一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度
7、单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直 的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而 极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径极径,记为;以极 轴为始边,射线为终边的角叫做点 M 的极角极角,记为.有序数对 叫做点 M 的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地, 当点在极点时,它的极坐标为(0, )(R).和直角坐标不同,
8、平面内一 个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 2.极坐标和直角坐标的互化 例题、 直角坐标为(，)、 （0， 2） 那么它的极坐标分别表示为_、 22 极坐标为（2，） 、 （1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 3 1. 答案： 、 （2，） (2， 3 4)2 答案：， （1,0）(1, 3) (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两 种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标 是(),于是极坐标与直角坐标的互
9、化公式如表: 点 直角坐标极坐标 互化公式 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. （1） 点的转化） 点的转化 1、直角坐标为(，)、 （0，2）那么它的极坐标分别表示为_、 22 极坐标为（2，） 、 （1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 3 1. 答案： 、 （2，） (2， 3 4)2 答案：， （1,0）(1, 3) （2）方程的转化）方程的转化 2、在极坐标系中，直线 : sin2，则直线在直角坐标系中方程为 l ( 4) 在极坐标系中,圆 O: 4,则在直角坐标系中，圆的方程 直线 l 与圆 O 相交，所截得的弦长为_ 答案：答案：(1)因为 , 所以直线 的直
10、角坐标方程为 ,即 , 圆 的直角坐标方程为 . (2)由(1)知圆心的坐标是 ,半径是 4,圆心到直线的距离是 . 所以直线 被圆 截得的弦长是 . 3、若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半 轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_ 4、求满足条件的曲线极坐标方程 (1)直线过点 M(1，0)且垂直于 x 轴 (2)直线过 M（0，a）且平行 于 x 轴 (3)当圆心位于M(a,0)，半径为r (4)当圆心位于M ，半径为2： ），（ 2 1 3.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的
11、圆 过极点,倾斜角为的直线 (1) (2) 过点,与极轴垂直的直线 过点,与极轴平行的直线 注 :注 :由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 ,即 都表示同一点的坐标,这与点的直角坐 标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至 少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表 示为等多种形式,其中,只有的极坐 标满足方程. 4圆的圆心坐标是（圆的圆心坐标是（ ）5cos5 3sin A B C D 4 ( 5,) 3 ( 5,) 3 (5,) 3 5 ( 5,) 3 4化极坐标方程为直角坐标方程为（化极坐标方程为直角坐标方程
12、为（ ） 2 cos0 A B C D 2 01yy 2 x或1x 2 01y 2 x或x1y 5点的直角坐标是，则点的极坐标为（点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）M( 1, 3)M A B C D (2,) 3 (2,) 3 2 (2,) 3 (2,2),() 3 kkZ 6极坐标方程表示的曲线为（极坐标方程表示的曲线为（ ）cos2sin2 A一条射线和一个圆一条射线和一个圆 B两条直线两条直线 C一条直线和一个圆一条直线和一个圆 D一个圆一个圆 北京高考近几年真题北京高考近几年真题 （2017 年北京.11 题 5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 22cos4sin+4=0 上， 点
13、P 的坐标为（1，0） ，则|AP|的最小值为 （2016年北京.11题5分）在极坐标系中， 直线cossin1=0与圆=2cos交于A， B 两点，则|AB|= （2015 年北京.11 题 5 分） 在极坐标系中， 点 （2，） 到直线 （cos+sin） =6 的距离为 （2013 年北京.09 题 5 分）在极坐标系中，点到直线 sin 2 的距离等于 2, 6 _ 【2011北京理，3】3在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标系是( ) A(1,) 2 B(1,) 2 C 1,0 D1, （2017 年北京.11 题 5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 22cos4sin+4=0
14、上， 点 P 的坐标为（1，0） ，则|AP|的最小值为 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的 点到点 P 的距离的最小值 【解答】解：设圆 22cos4sin+4=0 为圆 C，将圆 C 的极坐标方程化为： x2+y22x4y+4=0， 再化为标准方程：（x1）2+（y2）2=1； 如图，当 A 在 CP 与C 的交点 Q 处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|rC=21=1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值， 难度不大 （2016年北京.11题5分）在极坐标系中， 直线cossin1=0与圆=2
15、cos交于A， B 两点，则|AB|= 【考点】简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心 C 在直线上可得|AB| 【解答】解：直线 cossin1=0 化为 y 直线 xy1=0 圆 =2cos 化为 2=2cos， x2+y2=2x， 配方为 （x1） 2+y2=1， 可得圆心 C（1， 0） ， 半径 r=1 则圆心 C 在直线上，|AB|=2 故答案为：2 （2015 年北京.11 题 5 分） 在极坐标系中， 点 （2，） 到直线 （cos+sin） =6 的距离为 【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出 【解答】解：点 P（2，）化为 P 直线 （cos+sin）=6 化为 点 P 到直线的距离 d=1 故答案为：1 9 (2013 北京， 理 9)在极坐标系中， 点到直线 sin 2 的距离等于_ 2, 6 答案：答案：1 解析：解析：在极坐标系中，点对应直角坐标系中坐标为(，1)，直线 sin 2 对 2, 6 3 应直角坐标系中的方程为
