《第十章曲线与曲面(三) b-样条曲线-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十章曲线与曲面(三) b-样条曲线-修订编选（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 参数曲线与曲面(二) 参数曲线与曲面(二) B-样条曲线 B-样条曲线 回想一下，设计一条曲线，我们可以通过回想一下，设计一条曲线，我们可以通过 Bezier 控制多边形 给出大致轮廓，再通过调整控制顶点来调整曲线。如果是有理 控制多边形 给出大致轮廓，再通过调整控制顶点来调整曲线。如果是有理 Bezier 曲线， 还可以通过调整权因子来调整曲线。 对设计者来说， 确实方便。但是， 曲线， 还可以通过调整权因子来调整曲线。 对设计者来说， 确实方便。但是，Bezier 曲线有两个缺点：曲线有两个缺点： ? 次数取决于次数取决于 Bezier 控制顶点的个数，曲线次数太高。控制顶点的个数，曲线
2、次数太高。 ? 整体性。牵一发而动全身，太敏感。整体性。牵一发而动全身，太敏感。 这正是我们引进这正是我们引进 B 样条曲线的原因。具体做法是，将样条曲线的原因。具体做法是，将 Bezier 曲线的曲线的 Bernstein 基换为基换为 B 样条基。样条基。B 样条曲线是样条曲线是 NURBS 的基 础，而 的基 础，而 NURBS 是是 CAGD 中的核心技术。中的核心技术。 三次样条曲线三次样条曲线 预备知识：三次样条曲线的定义预备知识：三次样条曲线的定义 定义定义 1. 设区间设区间 a,b 分割为分割为 att= 01 =tb n , p t ( )是满足下 列条件之向量函数。 是满
3、足下 列条件之向量函数。 1 i 每个小区间每个小区间 ti , t i+1, i=0,1,n-1 上，上，p t ( ) 是是 t 的的 3 次向量多项式。次向量多项式。 ii p t ( ) C2a,b. 即即p t ( )有直至有直至 2 阶的连续导向量。阶的连续导向量。 则则 p t ( ) 为为 a, b 上关于分划上关于分划 att= 01 =tnb 的的 3 次参数 样条曲线。 次参数 样条曲线。 从样条曲线的观点导出三次等距从样条曲线的观点导出三次等距 B 样条样条 设设bbbm 01,为空间任为空间任 m+1 个点向量，个点向量，b bbm 01 为特征多边形， 顺次取 为特
4、征多边形， 顺次取 4 个顶点个顶点b bbbim iiii+=123013, (, ,2,)L作三次曲线段：作三次曲线段： ) 10()()( 3 0 3 ,3 , = + = tbtFtp ji j ji (1) 这里为待定基函数这里为待定基函数 (调配函数调配函数). 这这 m-2 段曲线要求：段曲线要求： Ft j, ( ) 3 ptptkim i k ti k t, ( ) , ( ) ( )|( )|, ,2., , 311 30 01014 =+= =L bbb iii= =+13时，时，p tb ii ( ) =. 我们由我们由,推导。推导。 Ft j, ( ) 3 由有由有
5、bFbFim ij j k j ij j k j + = + + = = , ( ) , ( ) ( )( ), ,2, 3 0 3 1 3 0 3 10014 所以所以 2 FbFFbFbim k i j k j k ij k i j 0 331 33,3 4 1 3 1100001 , ( ) , ( ) , ( )( ) ( )( )( )( ), ,2,+= + = 4 由由bi之任意性有：之任意性有： ( ) ( ) ( )( ), ,2;, ,2 ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) a F FFjk F k j k j k k 3,3 1 33 0 3 00 100
6、10 10 = = = + 1= 由有由有 1)()( 3 0 3 , = =j j tFb 由由(a)，按幂级数展开有，按幂级数展开有: 3 3 3 3 , 3 2 3 , 33 , 33 , 33 , 3 )0( 6 1 )0( 2 1 )0()0()(tdtFtFtFFtF= + += 其中其中d待定。又由于待定。又由于 3 FFd t dk dk dk kkk t2 33,33 3 1 3 3 3 01 0 31 62 , ( )( )( ) ( )( )()|= = = = = 我们有我们有 Ftdd td tFt dtd t 2 3333 2 2 3 3 3 3 2 3 3 1 2
7、 6 1 6 0 1 , ( )( ) () =+ =+ 其中其中d待定。类似有待定。类似有 2 Ftdtdtd t Ftdtdtdtd t 1 33 3 2 3 1 3 1 33 3 2 3 1 3 0 3 21 321 , , ( )()() ( )()()() =+ =+ 3 其中其中d待定。待定。 d 10 , 由由(b), 既然，将写成幂级数形式，各项系数 必为 既然，将写成幂级数形式，各项系数 必为 0。故有。故有 Ft j j , ( ) 3 0 3 1 = Ft j j , ( ) 3 0 3 1 = 4 0 ()() ()() ()() 321211 32121 321210
8、 4320 33 3 3 21 22 3 2 21 321 3210 += += += += ddd ddd ddd dddd 也即也即 = 0 0 0 1 1234 0136 01514 01936 3 2 1 0 d d d d 解此方程组得：解此方程组得： (,)(, , , )dd dd 0123 1 6 4 6 4 1= 于是，求得如下：于是，求得如下： Ft j, ( ) 3 FttFttt FttttFtt 0 3 3 1 3 23 2 3 23 3,3 3 1 6 1 1 6 463 1 6 1333 1 6 , , ( )()( )() ( )()( ) =+ =+= 不难发
9、现，这样推导得到的恰好为关于分 划 不难发现，这样推导得到的恰好为关于分 划 0 1 2 3 n 的三次的三次 B样条基样条基 Ft Ft Ft Ft 0 31 32 33,3, ( ),( ),( ),( ) NtNtNtNt 3,42 41 40 4 ( ),( ),( ),( ) , 在在 0,1 上的表示式。所以上的表示式。所以 (1) 式即为 等距三次 式即为 等距三次 B 样条曲线。样条曲线。 另外，还可得到等距三次另外，还可得到等距三次 B 样条曲线的矩阵表示：样条曲线的矩阵表示： = + + + 3 2 1 23 0141 0303 0363 1331 ) 1( 6 1 )(
10、i i i i i b b b b ttttP B 样条基函数样条基函数 B 样条基函数是样条函数空间中具有最小支承的一组基，也称为基 本样条 样条基函数是样条函数空间中具有最小支承的一组基，也称为基 本样条(Basic spline), B 样条基函数有多种定义形式，例如有积分、差 分、卷积、截断幂、递推形式等，理论上较多采用截断幂函数的差商 定义，但实际工程计算则更多采用 样条基函数有多种定义形式，例如有积分、差 分、卷积、截断幂、递推形式等，理论上较多采用截断幂函数的差商 定义，但实际工程计算则更多采用 de Boor-Cox 递推公式定义递推公式定义 B 样条 基函数，这样不仅便于计算
11、分析基函数的性质，而且也简明直观，具 有明显的几何特征。 在下面的叙述中， 通常不分参数记号 样条 基函数，这样不仅便于计算分析基函数的性质，而且也简明直观，具 有明显的几何特征。 在下面的叙述中， 通常不分参数记号 u 和和 t 之间的 差别。 之间的 差别。 定义定义 3.1 设是单调递增的实数序列，即 称为节点（ 设是单调递增的实数序列，即 称为节点（Knot），），U 称为节点矢量，第称为节点矢量，第 i 段段 p 次（次（degree）(或或 p+1 阶（阶（order）) B 样条基函数，记为样条基函数，记为 定义如定义如 m u ,uUL 0 = i uuimu ii = +1
12、011(, ,),L Nu i p, ( ), 5 下：下： = 0 1 0 )u(N , i 否则 若 1+ p tp Ntttt ii k i n kn ( )( ),( ) , = = + 0 11 7 为为 k 阶阶 (k-1 次次) 的的 B 样条曲线，折线样条曲线，折线 P PPn 01 为的控制多 边形。 为的控制多 边形。P, i = 0,1,n 为的控制顶点。为的控制顶点。N为定义在分割 上的 为定义在分割 上的 k 次次 B 样条基函数，可由样条基函数，可由 de Boor-Cox 公式确定。公式确定。 P t( ) i P t( )t i k , ( ) ti i n k
13、 = + 0 ? 一般一般 B 样条曲线的性质样条曲线的性质 导数公式导数公式 由由 B 样条基的微分差分公式，有：样条基的微分差分公式，有： = = = = + = p tp Ntp Nt k pp tt Nt ii k i n ii k i n ii i kii n i k ( )( )( ) ()( ) , , 00 1 10 1 1 11 表示的唯一性表示的唯一性 以以 为控制顶点的为控制顶点的 k 阶阶 B 样条可唯一地表示为样条可唯一地表示为 。 Pi n 0 P tPNt ii k i n ( )( ) , = = 0 注意：等价于注意：等价于 0 的的 B 样条表示的唯一性。可
14、由数学归纳法证 明。 样条表示的唯一性。可由数学归纳法证 明。 规范性规范性 当且仅当当且仅当 退化为一点，即退化为一点，即Pi n 0 PA i 时，由其所确定的时，由其所确定的 B 样条曲 线退化为一点。 样条曲 线退化为一点。 证明：若，则证明：若，则 p tANtANtA i ki k ( )( )( ) , = = 12 PA i 。反之，若。反之，若, 即，对此式求导，得到即，对此式求导，得到 p tA( ) = ()( ) , k PP tt Nt ii i ki i k = + 10 1 1 1 PNtA ii k , ( ) =，因 此，由的线性无关性，知 ，因 此，由的线性
15、无关性，知Nt i k , ( ) 1 PP ii 1，从而 ，从而PA i 。 连续性连续性 k 阶阶 B 样条是分段的样条是分段的 k-1 次参数曲线，在节点处不低于次参数曲线，在节点处不低于 k-1-m 次连续，次连续，m 为节点重数。为节点重数。 凸包性凸包性 k 阶阶 B 样条的任一段，均落在相应的样条的任一段，均落在相应的 k 个顶点之凸包内。个顶点之凸包内。 局部性局部性 改变改变 k 阶阶 B 样条的一个顶点， 至多影响此点为中心的相邻样条的一个顶点， 至多影响此点为中心的相邻 k 段曲线。段曲线。 直线保持性直线保持性 控制多边形退化为一条直线时，控制多边形退化为一条直线时， 曲线也退化为一条直线。曲线也退化为一条直线。 几何不
