《解直角三角形知识点10414-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解直角三角形知识点10414-修订编选（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、直角三角形的性质： 直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 C=90A+B=90 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 C=90A=30 BC=AB 2 1 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 D 为 AB 的中点 CD=AB=BD=AD 2 1 4、 勾股定理 ： ：还可以变形为， 222 cba 222 abc 222 acb 222 bca 5、射影定理 ： 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90CDAB BDADCD 2 ABADAC 2 ABBDBC 2 6
2、、常用关系式 由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 二、锐角三角函数二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义：、锐角三角函数定义：在中，C=90，、分别是A、B、C 的对RT ABCabc 边，则： sin Aa A c 的对边 斜边 cos Ab A c 的邻边 斜边 tan Aa A Ab 的对边 的邻边 cot Ab A Aa 的邻边 的对边 常用变形：；等，由同学们自行归纳sinacA sin a c A 2、锐角三角函数的有关性质：、锐角三角函数的有关性质： （1）当 0A90时，；0sin1A0cos1Atan0Acot0A （2）在 090之间，正弦、正切（、）的值，随角度的增
3、大而增大；sintan 余弦、余切（、）的值，随角度的增大而减小。coscot 3、同角三角函数的关系：、同角三角函数的关系： 图 1 CB A A CB D 22 sincos1AAtancot1AA sin tan cos A A A cos cot sin A A A 常用变形： （用定义证明，易得，同 2 sin1 cosAA 2 cos1 sinAA 学自行完成） 4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：、正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图 1，由定义可得： 同理可得：sincoscos(90) a ABA c sincos(90)AAcossin(90)AAtancot(90)
4、AA cottan(90)AA 5、特殊角的三角函数值：5、特殊角的三角函数值： 三角函数三角函数003030454560609090 sin cos tan- - cot- - 二、有关三角函数计算二、有关三角函数计算（计算器、特殊角） 三、解直角三角形三、解直角三角形 已知的一些边、角 求求 另一些边、角 1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：1、解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型已知条件解法 两直角边、ab ， 2 2 cabtan a A b 90BA两边 直角边 ，斜边ac， 22 bcasin a A c 90BA 直角边，锐角 Aa，90BAcotbaA sin a c
5、 A 一边 一锐角 斜边，锐角 Ac，90BAsinacA cosbcA 例 1：在 RtABC 中,C=Rt,a,b,c 是ABC 的三边,a=6,B=30求A,b,c. 在 RtABC 中,C=Rt,a,b,c 是A,B,C 的对边,a=5,b=,求 c,A,B.35 60 30 3 2 1 B C A 45 2 2 2 B C A 例 2:在 RtABC 中,C=Rt,a,b,c 是三边,且,a=6.求 c. 8 3 ctgA 在 RtABC 中,C=Rt,B=30,a-b=2.求 c. 在 RtABC 中,B=45,C=60,BC=.求 SABC 及ABC 的周长.326 在 RtAB
6、C 中,C=Rt,A 的平分线 AD 的长是解直角三角形.58AC 3 1516 在 RtABC 中,C=90,.D 是 AC 上一点DBC=30. 求310AB 5 3 cosABC BC,AD. 2、解直角三角形的实际运用2、解直角三角形的实际运用 (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 :ih l h l (2)坡面的铅直高度和水平宽度 的比叫做坡度(坡比)。用字母 表示，即。坡hli h i l 度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么1:m1:5i 。tan h i l (3)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角， 叫做方位角
7、。 如图 3， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是：45、135、225。 (4)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角， 叫做方向角。 如图 4,OA、 OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东南方向） ， 南偏西 60（西南方向） ， 北偏西 60（西北方向） 。 补充：补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 有关公式有关公式 （1）= 1 sin 2 SabC 1 sin 2 bcA 1 sin 2 acB 图 2 D CB A （2）Rt面积公式： 11 22 Sabch （3）结论：直
8、角三角形斜边上的高 ab h c （4）测底部不可到达物体的高度如右图， 在 RtABP 中， BP=xcot 在 RtAQB 中， BQ=xcot BQBP=a， 即 xcot-xcot=a 解直角三角形的知识的应用，可以解决：解直角三角形的知识的应用，可以解决： (1)测量物体高度 (2)有关航行问题 (3)计算坝体或边路的坡度等问题 3、三角形的面积公式：3、三角形的面积公式： 已知中，A、B、C 的对应边分别是、，如图 2，过点 A 作 ADBCABCabc 于点 D。在中，即：（）RT ABDsin AD B AB sinADABBsinADcB （其中：B 为、的夹角） 111 s
9、insin 222 ABC SBC ADa cBacB ac 同理可得同理可得：（三角形的面积公式）（三角形的面积公式） 111 sinsinsin 222 ABC SacBbcAabC 由面积公式可得： 11 sinsin 22 acBbcA 两边同时除于 得： 1 2 csinsin sinsin ab aBbA AB 同理可得，正弦公式：正弦公式： sinsinsin abc ABC 余弦定理余弦定理 如图 2：， ，在直角三角形 ABD 中，由sinADbC cosBDBCCDabC 勾股定理得： 整理得： 2 22222 (sin)(cos)ABADBDcbCabC 22222222
10、22 sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCbCCaabC 整理得到余弦定理：（C 为 222 2coscbaabC 222 2coscababC 、的夹角）ab A B PQ x a D A B C 同理可得：（余弦定理及其变形）同理可得：（余弦定理及其变形） 222 2cosabcbcA 222 cos 2 bca A bc 222 2cosbacacB 222 cos 2 acb B ac 222 2coscababC 222 cos 2 abc C ab 四、三角函数与相似：四、三角函数与相似： 图 5 3.2 4 6 E D C B A 如图 5，可以利用相似
11、进行求解，也可以利用三角函数进行求解： 3.2 cos 610 ADABxx A AEAC sin DEBC A AEAC 如图 6， 6 tan 48 DEBCx A AEAB 备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些 五、三角函数与一次函数五、三角函数与一次函数 设一次函数经过点与那么我们可以列出方程组：ykxb 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 则可以得到： 如下图所示： 11 22 ykxb ykxb 21 21 yy k xx tank 8 6 4 D A B C E 图 6 y2-y1 x2-x1 y2 y1 x2 x1 B(x2,y2) A(x1,y1) O
