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1、1 第一部分：坐标系与参数方程第一部分：坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点 0, 0, : yy xx yxP, ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.yxP , 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图(1)所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一OOOx 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景
2、;平面直角 坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐 标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点O与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为;以极轴为始边,射线为终OxOM 边的角叫做点 M 的极角,记为.有序数对叫做点 M 的极坐标,记作 M.一般地,不作特xOM, 殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为。 和直角坐, 0R, 0 标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用20 , 0 唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的., 3.极坐标和
3、直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同 的长度单位,如图(2)所示: (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于yx,0, 是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 M直角坐标yx,极坐标, 互化公式 sin cos y x 0tan 222 x x y yx 在一般情况下,由确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角.tan 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 2 圆心在极点,半径为的圆r20 r 圆心为,半径为的圆0 , rr 22 2 r 圆心为,半径为的圆 2 , rr0sin2
4、r 过极点,倾斜角为的直线 (1) RR或 (2) 00或 过点,与极轴垂直的直线0 , a 22 cos a 过点,与极轴平行的直 2 , a 线 0sina 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一 ,2 , 点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少 有 一 个 能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 .例 如 对 于 极 坐 标 方 程点可 以 表 示 为 4 , 4 M 等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程 4 5 , 4 2 4 , 4 2 4 , 4 MMM或或 4 , 4 M . 二、参数方程 1.参数方程的
5、概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数 的函数,并且对yx,t tgy tfx 3 于 的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方tyxM, 程,联系变数的变数 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫yx,t 做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方 程. (2)如果知道变数中的一个与参数 的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数yx,t tfx 的关系,那么就是曲线的参数方程,在
6、参数方程与普通方程的互化中,必须使的取 tgy tgy tfx yx, 值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设 参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点 M 从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设 MOr 0 MO ，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义yx,为参数 sin cos ry rx Or 是转过的角度。圆心为，半径为的圆的普通方程是， 0 OMba,r 2 22 rbyax 它的参数方程为：。为参数 sin c
7、os rby rax 4椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在 x轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为O01 2 2 2 2 ba b y a x ， 其 中 参 数称 为 离 心 角 ； 焦 点 在轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是为参数 sin cos by ax y 其参数方程为其中参数仍为离心角， 通常规定参数的01 2 2 2 2 ba b x a y 为参数 sin cos ay bx 范围为。2 , 0 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开 来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 0 到的范围内） ，在
8、其他任何一点，两个2 角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。 2 0 2 0 5双曲线的参数方程 4 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为0, 01 2 2 2 2 ba b y a x ，其中。为参数 tan sec by ax 2 3 , 2 2 , 0 且 焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为， 其y0, 01 2 2 2 2 ba b x a y 为参数 csc cot ay bx 中且2 . 0 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为02 2 ppxy为参数t pt
9、y ptx 2 2 2 7直线的参数方程 经过点， 倾斜角为的直线 的普通方程是而过， 000 , yxM 2 l 00 tanxxyy 000 , yxM 倾斜角为的直线 的参数方程为。l为参数t tyy txx sin cos 0 0 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为 000 , yxMl ，其中 表示直线 上以定点为起点，任一点为终点的有向线段为参数t tyy txx sin cos 0 0 tl 0 MyxM, 的数量，当点在上方时， 0； 当点在下方时， 0； 当点与重合时， =0。MM0M 0 MtM 0 MtM 0 Mt 我们也可以把参数t理解
10、为以为原点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长 0 MlM 度与原直角坐标系中的单位长度相同。 【要点名师透析】 一、坐标系 （一）平面直角坐标系中的伸缩变换 例在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 yy xx / / 2 3 : （1）求点 2, 3 1 A经过变换所得的点 A 的坐标； （2）点 B 经过变换得到点 1 ( 3, ) 2 B ，求点B的坐标； 5 （3）求直线 :6l yx 经过变换后所得到直线的 l 方程； （4）求双曲线 2 2 :1 64 y C x 经过变换后所得到曲线 C 的焦点坐标。 （二）极坐标与直角坐标的互化 例 2在极坐标系中，如果 5
11、(2,), (2,) 44 AB 为等边三角形 ABC 的两个顶点，求顶点 C 的极坐标 (0,02 ) 。 （三）求曲线的极坐标方程 例已知 P，Q 分别在AOB 的两边 OA，OB 上，AOB=，POQ 的面积为 8，求 PQ 中点 M 的 3 极坐标方程。 （四）极坐标的应用 例如图，点 A 在直线 x=4 上移动，OPA 为等腰直角三角形，OPA 的顶角为OPA（O，P，A 依 次按顺时针方向排列） ，求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。 二、参数方程 （一）把参数方程化为普通方程 例已知曲线 C ： （t 为参数） ， C ：（为参数） 。 （1）化 C ，C 的方程为普通方程，并
12、说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C 上的点 P 对应的参数为，Q 为 C 上的动点，求中点到直线 2 t （t 为参数）距离的最小值。 ty tx C 2 23 : 3 （二）椭圆参数方程的应用 在 平 面 直 角 坐 标 系中 ， 点是 椭 圆上 的 一 个 动 点 ， 求 的最大值 6 解答： （三）直线参数方程的应用 例过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应 的的值。 解析： （四）圆的参数方程的应用 例已知曲线 C 的参数方程是为参数)，且曲线 C 与直线=0 相交于两点 A、B （1）求曲线 C 的普通方程； （2）求弦 AB 的垂直平分线的方程（3）求弦 AB 的长
13、【感悟高考真题】 1在极坐标系中，点（2，3 ）到圆 2cos 的圆心的距离为( ) （A）2 (B) 2 4 9 (C) 2 1 9 （D) 3 2在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是（ ） （A） (1,) 2 （B） (1,) 2 （C）(1,0) （D）(1, ) 3 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 1 C 的参数方程为 sin1 cos y x , ).( 为参数 在极坐标系 （与直角坐标系 xOy 有 相 同 的 长 度 单 位 ， 且 以 原 点 O 为 极 点 ， 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ） 中 ， 曲 线 2 C 的 方 程 为 21 , 01)sin(
14、cosCC 与则 的交点个数为_ 4直角坐标系 xOy 中，曲线 1 C 的参数方程为 sin3 cos2 y x ).( 为参数 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取 相 同 的 长 度 单 位 ， 且 以 原 点 O 为 极 点 ， 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ） 中 ， 曲 线 2 C 的 方 程 为 21 , 01)sin(cosCC 与则 的交点个数为_ 7 5.（1） （坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 6 （2011陕西高考理科T15C） 直角坐标系 xoy
15、中， 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 设点 A，B 分别在曲线 1 C ： 3cos 4sin x y （为参数）和曲线 2 C ： 1 上，则 |AB 的最小值 为 7 （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 设点 A，B 分别在曲线 1 C ： 3cos sin x y （为参数）和曲线 2 C ： 1 上，则 |AB 的最小值 为 8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线C的参数方程为（t为参数） 若斜率为 1 的直线经过抛 ty tx 8 8 2 物线C的焦点，且与圆( ) 2 22 4(0)xyrr-+= 相切，则r=_. 9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 5cos (0) sin x y 和 2 5 ()4 xt tR yt ，它们 的交点坐标为 . 10（2） 在直角坐标系 xOy 中， 直线l的方程为 x-y+4=0， 曲线 C 的参数方程为 x3cos ysin （ 为参数） .
