《衡水中学2021届高考数学二轮复习 专题14 圆锥曲线--修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《衡水中学2021届高考数学二轮复习 专题14 圆锥曲线--修订编选（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、衡水中学 2020 届高考数学二轮复习 专题 14 圆锥曲线 1若椭圆 1 的离心率 e，则 m 的值是_ x2 5 y2 m 10 5 解析：当 m5 时，解得 m； 10 5 m5 m 25 3 当 m0)，则 x22x3，解得 x1，所求距离为 1 .2x 1 2 3 2 答案：3 2 3双曲线 2x2y260 上一个点 P 到一个焦点的距离为 4，则它到另一个焦点的距离 为_ 解析 ： 双曲线方程化为 1.设P到另一焦点的距离为d， 则由|4d|2得d4 y2 6 x2 3 6 2，或 d42(舍去)66 答案：246 4(2012江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1
2、的离心率为， x2 m y2 m24 5 则 m 的值为_ 解析：由题意得 m0，a，b，mm24 c，由 e 得5，m2m4 c a 5 m2m4 m 解得 m2. 答案：2 5已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 e，若椭圆上存在 x2 a2 y2 b2 点 P，使得e，则该椭圆离心率 e 的取值范围是_ PF1 PF2 解析：e，PF1ePF2e(2aPF1)， PF1 PF2 PF1. 2ae 1e 又 acPF1ac， acac， a(1e)a(1e)， 1e1e， 2ae 1e 2ae 1e 2e 1e 解得 e1.2 又 0e0)，则3 有 B(2cos
3、， sin )， |FA|FB|2cos ， |AB|2sin ， |FA|32cos 123sin23 |FB|AB|42cos 2sin 44sin，当 2k ，kZ，即 2k3 ( 6) 6 2 ， kZ， 2cos 1，sin 时， FAB 的周长最大， 此时FAB 的面积等于 (11)3 3 3 3 2 1 2 3. 法二：椭圆右焦点为 F(1,0) 由椭圆定义|AF|AF|BF|BF|2a. 则FAB 的周长 l|AF|BF|AB| 4a(|FA|FB|)|AB| 4a|FA|FB|AB|4a. 所以FAB 周长最大时，直线 xm 经过 F(1,0)这时|AB|3， 此时 SFAB
4、 233. 1 2 (2)由题意可设：|PF1|4m，|F1F2|3m，|PF2|2m， 当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为 2a|PF1|PF2| 4m2m6m，焦距为 2c|F1F2|3m， 所以离心率 e ； c a 2c 2a 3m 6m 1 2 当圆锥曲线是双曲线时， 实轴长为 2a|PF1|PF2|4m2m2m， 焦距为 2c|F1F2| 3m，所以离心率 e . c a 2c 2a 3m 2m 3 2 答案(1)3(2) 或 1 2 3 2 解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题， 一般考虑用定义， 在椭圆和双曲线的方程中要 注意 a，b，c 之间关系的区别 演练1 (1)已知双曲线 1
5、的一个焦点坐标为(，0)，则其渐近线方程为_； x2 a y2 2 3 (2)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2的距离之和的最小值是_ 解析：(1)由 a23，可得 a1， 双曲线方程为 x2 1， y2 2 其渐近线方程为 x0，即 yx. y 2 2 (2)由 y24x 可知 l2：x1 是抛物线的准线，所以 P 到 l2的距离等于 P 到抛物线的焦 点 F(1,0)的距离 动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值即为点 F(1,0)到直线 l1： 4x 3y60 的距离 d2. |46| 4232 答案
6、：(1)yx(2)22 典例2 (2012北京高考)已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)， 离心率为.直线y x2 a2 y2 b2 2 2 k(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当AMN 的面积为时，求 k 的值 10 3 解(1)由题意得Error!Error!解得 b，2 所以椭圆 C 的方程为 1. x2 4 y2 2 (2)由Error!Error!得 (12k2)x24k2x2k240. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2， 4k2 12k2 x1x2，
7、2k24 12k2 所以 MN x 2x12y2y12 1k2 x 1x224x1x2 . 2 1k246k2 12k2 又因为点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d， |k| 1k2 所以AMN 的面积为 S MNd. 1 2 |k| 46k2 12k2 由，化简得 7k42k250， |k| 46k2 12k2 10 3 解得 k1. 本题主要考查椭圆的标准方程、 几何性质及直线与椭圆的位置关系 解决直线与圆锥曲 线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题 演练2 已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，
8、2 y2)(x10) AMMN，M. (2， t 2) 由点 M 在椭圆上，得 t6. 故点 M 的坐标为 M(2,3) 所以(6，3)，(2，3)，MA MB 1293.MA MB cos AMB. | | 3 36949 65 65 设圆的方程为 x2y2DxEyF0，将 A，F，N 三点坐标代入，得 Error!Error!得Error!Error! 圆的方程为 x2y22xy80， (t 72 t) 令 x0，得 y2y80. (t 72 t) 设 P(0，y1)，Q(0，y2)， 由线段 PQ 的中点为(0,9)，得 y1y2t18. 72 t 此时，所求圆的方程为 x2y22x18
9、y80. 本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程 演练3 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：1(ab0)的离 x2 a2 y2 b2 心率为， 以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy 3 2 20 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(0,1)， Q(0,2) 设 M， N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点， 直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证：点 T 在椭圆 C 上 解：(1)由题意知椭圆 C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即 b. 2 2 2 因为离心率 e ，所以 . c a 3 2 b a 1(
10、c a) 2 1 2 所以 a2 . 2 所以椭圆 C 的方程为 1. x2 8 y2 2 (2)证明 ： 由题意可设 M，N 的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线 PM 的方程为 y x1， y01 x0 直线 QN 的方程为 yx2. y02 x0 设 T 点的坐标为(x，y) 联立解得 x0，y0. x 2y3 3y4 2y3 因为 1，所以 221. x2 0 8 y2 0 2 1 8( x 2y3) 1 2( 3y4 2y3) 整理得 (2y3)2， x2 8 3y42 2 所以 12y84y212y9，即 1. x2 8 9y2 2 x2 8 y2 2 所以点 T 的
11、坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上 典例4 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C：1 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合 x2 16 y2 15 (1)求抛物线 D 的方程； (2)过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点 若直线 l 的斜率为 1，求 MN 的长； 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值？如果存 在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由 解(1)由题意，可设抛物线方程为 y22px(p0)由 a2b216151，得 c1. 抛物线的焦点为(1,0)，p2. 抛物线 D 的方程为 y24x. (2)
12、设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 直线 l 的方程为：yx4，联立Error!Error! 整理得 x212x160. 则 x1x212，x1x216， 所以 MN 4. x 1x22y1y22 10 设存在直线 m：xa 满足题意，则圆心 E，过 E 作直线 xa 的垂线，垂 ( x14 2 ，y 1 2) 足为 H，设直线 m 与圆 E 的一个交点为 G.可得 GH2EG2EH2， 即 GH2EA2EH2 2 x 1 4 2y2 1 4 ( x14 2 a) y a(x14)a2 1 4 2 1 x 1 4 2x1 4 2 4 x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2. 当 a
13、3 时，GH23，此时直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长恒为定值 2 . 3 因此存在直线 m：x3 满足题意 以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类 似于反证法，即先假设存在并设出参数建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则 说明不存在 演练4 已知椭圆 C 的离心率 e， 一条准线方程为 x4， P 为准线上一动点， 直线 PF1、 PF2 2 2 分别与以原点为圆心、椭圆的焦距 F1F2为直径的圆 O 交于点 M、N. (1)求椭圆的标准方程； (2)探究是否存在一定点恒在直线 MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明 理
14、由 解：(1)由题意得 ，4，解得 c2，a2， c a 2 2 a2 c 2 则 b2a2c24，所以椭圆的标准方程为 1. x2 8 y2 4 (2)由(1)易知 F1F24，所以圆 O 的方程为 x2y24. 设 P(4，t)，则直线 PF1方程为 y (x2)， t 6 由Error!Error!得(t236)x24t2x4(t236)0， 解得 x12，x2， 2t2 36 t236 所以 M， ( 2t2 36 t236 ， 24t t236) 同理可得 N. ( 2t2 4 t24 ， 8t t24) 若 MNx 轴，则，解得 t212，此时点 M，N 的横坐标都为 1， 2t2
15、 36 t236 2t2 4 t24 故直线 MN 过定点(1,0)； 若 MN 与 x 轴不垂直，即 t212， 此时 kMN， 8t t24 24t t236 2t2 4 t24 2t 2 36 t236 8t t212 所以直线 MN 的方程为 y， 8t t24 8t t212(x 2t2 4 t24 ) 即 y(x1)，所以直线 MN 过定点(1,0) 8t t212 综上，直线 MN 过定点(1,0) 专题技法归纳 (1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法而对于双曲线和 椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成 mx2ny21(mn0)， 这样可以避免对参数的
16、 讨论 (2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系，然后把 b 用 a，c 代换，求 的值 c a (3)在双曲线中由于 e21，故双曲线的渐近线与离心率密切相关 b2 a2 1(2012上海春招)抛物线 y28x 的焦点坐标为_ 解析：由 p4 得焦点坐标为(2,0) 答案：(2,0) 2已知方程1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_； x2 m1 y2 2m 若该方程表示双曲线，则 m 的取值范围是_ 解析 ： 若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则Error!Error!解得 1m ； 若方程表示双曲线， 则(m 3 2 1)(2m)0，解得 m2. 答案：(，1)(2，) (1， 3 2) 3 点P为椭圆1(ab0)上一点， F1， F2为椭圆的焦点， 如果PF1F275， PF2F1 x2 a
