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1、线性代数知识点总结线性代数知识点总结 1 行列式行列式 （一）行列式概念和性质（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置） ，行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式 ： 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个 行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘 k 加到另一行（列） ，行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为 0。 （二）重要行列式
2、（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace 展开式：（A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵） ，则 7、n 阶（n2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 8、对角线的元素为 a，其余元素为 b 的行列式的值： （三）按行（列）展开（三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 （2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘 积之和等于 0 （四）行列式公式（四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|k
3、A|=kn|A| （2）|AB|=|A|B| （3）|AT|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若 A 的特征值1、2、n，则 （7）若 A 与 B 相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则（五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （ 1） 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 为 0， 那 么 方 程 为 唯 一 解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为 0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为 0，则齐次线性方程组只有 0 解；如 果方程组有非零解，那么必有 D=0。 2 矩阵矩阵 （一）矩阵的运算（
4、一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若 B=E,O,A-1， A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O 不能推出 A=O 或 B=O。 2、转置的性质（5 条） （1） （A+B）T=AT+BT （2） （kA）T=kAT （3） （AB）T=BTAT （4）|A|T=|A| （5） （AT）T=A （二）矩阵的逆（二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E 或 BA=E 成立，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵，记为 B=A-1 注：A 可逆的充要条件是|A|0 4、逆的性质：（5 条） （
5、1） （kA）-1=1/kA-1 (k0) （2） （AB）-1=B-1A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4） （AT）-1=（A-1）T （5） （A-1）-1=A 5、逆的求法： （1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解 （2）A 为数字矩阵：（A|E）初等行变换（E|A-1） （三）矩阵的初等变换（三）矩阵的初等变换 6、初等行（列）变换定义： （1）两行（列）互换； （2）一行（列）乘非零常数 c （3）一行（列）乘 k 加到另一行（列） 7、初等矩阵：单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵。 8、初等变换与初等矩阵的性质： （1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵
6、（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且 Eij-1=Eij（i，j 两行互换） ； Ei-1（c）=Ei（1/c） （第 i 行（列）乘 c） Eij-1（k）=Eij（-k） （第 i 行乘 k 加到 j） （四）矩阵的秩（四）矩阵的秩 9、秩的定义：非零子式的最高阶数 注：（1）r（A）=0 意味着所有元素为 0，即 A=O （2）r（Ann）=n（满秩） |A|0 A 可逆； r（A）n|A|=0A 不可逆； （3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r 阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0。 10、秩的性质：（7 条） （1）A 为 mn 阶矩阵，则 r（A）min（m,n） （2）r（AB）
7、r（A）（B） （3）r（AB）minr（A） ，r（B） （4）r（kA）=r（A） （k0） （5）r（A）=r（AC） （C 是一个可逆矩阵） （6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT） （7）设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 ns 矩阵，AB=O，则 r（A）+r（B）n 11、秩的求法： （1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解； （2）A 为数字矩阵：A初等行变换阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素 均为 0） ，则 r（A）=非零行的行数 （五）伴随矩阵（五）伴随矩阵 12、伴随矩阵的性质：（8 条） （1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1 （2） （kA）
8、*=kn-1A* （3） （AB）*=B*A* （4）|A*|=|A|n-1 （5） （AT）*=（A*）T （6） （A-1）*=（A*）-1=A|A|-1 （7） （A*）*=|A| n-2A （8）r（A*）=n （r（A）=n） ； r（A*）=1 （r（A）=n-1） ； r（A*）=0 （r（A）n-1） （六）分块矩阵（六）分块矩阵 13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。 14、分块矩阵求逆： 3 向量向量 （一）向量的概念及运算（一）向量的概念及运算 1、向量的内积：（，）=T=T 2、长度定义： |= 3、正交定义：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=0 4、
9、正交矩阵的定义：A 为 n 阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1 （二）线性组合和线性表示（二）线性组合和线性表示 5、线性表示的充要条件： 非零列向量可由1，2，s线性表示 (1)非齐次线性方程组（1，2，s） （x1，x2，xs）T=有解。 (2)r（1，2，s）=r（1，2，s，） （系数矩阵的秩等 于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验） 6、线性表示的充分条件：（了解即可） 若1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，则可由1， 2，s线性表示。 7、线性表示的求法：（大题第二步） 设1，2，s线性无关，可由其线性表示。 （1，2，s|）初等行变换（行最简形|系数）
10、 行最简形：每行第一个非 0 的数为 1，其余元素均为 0 （三）线性相关和线性无关（三）线性相关和线性无关 8、线性相关注意事项： （1）线性相关=0 （2）1，2线性相关1，2成比例 9、线性相关的充要条件： 向量组1，2，s线性相关 （1）有个向量可由其余向量线性表示； （2）齐次方程（1，2，s） （x1，x2，xs）T=0 有非零解； （3）r（1，2，s）s 即秩小于个数 特别地，n 个 n 维列向量1，2，n线性相关 （1） r（1，2，n）n （2）|1，2，n |=0 （3）（1，2，n）不可逆 10、线性相关的充分条件： （1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关 （2）部
11、分相关，则整体相关 （3）高维相关，则低维相关 （4）以少表多，多必相关 推论：n+1 个 n 维向量一定线性相关 11、线性无关的充要条件 向量组1，2，s 线性无关 （1）任意向量均不能由其余向量线性表示； （2）齐次方程（1，2，s） （x1，x2，xs）T=0 只有零解 （3）r（1，2，s）=s 特别地，n 个 n 维向量1，2，n 线性无关 r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩阵可逆 12、线性无关的充分条件： （1）整体无关，部分无关 （2）低维无关，高维无关 （3）正交的非零向量组线性无关 （4）不同特征值的特征向量无关 13、线性相关、线性无关判定 （1）定义法 （2
12、）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关 【专业知识补充】 （1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数） ，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满 秩矩阵，矩阵的秩不变。 （2）若 n 维列向量1，2，3 线性无关，1，2，3 可以由其线性表示， 即（1，2，3）=（1，2，3）C，则 r（1，2，3）=r（C） ，从而 线性无关。 r（1，2，3）=3 r（C）=3 |C|0 （四）极大线性无关组与向量组的秩（四）极大线性无关组与向量组的秩 14、极大线性无关组不唯一 15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩 对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数 注:向量组1，2，s 的秩与矩阵 A
13、=（1，2，s）的秩相等 16、极大线性无关组的求法 （1）1，2，s 为抽象的：定义法 （2）1，2，s 为数字的： （1，2，s）初等行变换阶梯型矩阵 则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组 （五）向量空间（五）向量空间 17、基（就是极大线性无关组）变换公式： 若1，2，n 与1，2，n 是 n 维向量空间 V 的两组基，则基 变换公式为（1，2，n）=（1，2，n）Cnn 其中，C 是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。 C=（1，2，n）-1（1，2，n） 18、坐标变换公式： 向量在基1， 2， n与基1， 2， n 的坐标分别为 x=（x1， x2， xn）T，y=
14、（y1，y2，yn）T， ，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn， 则坐标变换公式为 x=Cy 或 y=C-1x。 其中， C 是从基1， 2， n 到1， 2， n 的过渡矩阵。 C=（1， 2， n） -1（1， 2， n） （六）（六）Schmidt 正交化正交化 19、Schmidt 正交化 设1，2，3 线性无关 （1）正交化 令1=1 （2）单位化 4 线性方程组线性方程组 （一）方程组的表达形与解向量（一）方程组的表达形与解向量 1、解的形式： (1)一般形式 (2)矩阵形式：Ax=b； (3)向量形式：A=（1，2，n） 2、解的定义： 若=
15、（c1，c2，cn）T满足方程组 Ax=b，即 A=b，称是 Ax=b 的一个解 （向量） （二）解的判定与性质（二）解的判定与性质 3、齐次方程组： （1）只有零解r（A）=n（n 为 A 的列数或是未知数 x 的个数） （2）有非零解r（A）n 4、非齐次方程组： （1）无解r（A）r（A|b）r（A）=r（A）-1 （2）唯一解r（A）=r（A|b）=n （3）无穷多解r（A）=r（A|b）n 5、解的性质： （1）若1，2是 Ax=0 的解，则 k11+k22是 Ax=0 的解 （2）若是 Ax=0 的解，是 Ax=b 的解，则+是 Ax=b 的解 （3）若1，2是 Ax=b 的解，则
16、1-2是 Ax=0 的解 【推广】 （1）设1，2，s是 Ax=b 的解，则 k11+k22+kss为 Ax=b 的解 （当ki=1） Ax=0 的解 （当ki=0） （2） 设1， 2， s是 Ax=b 的 s 个线性无关的解， 则2-1， 3-1， s- 1为 Ax=0 的 s-1 个线性无关的解。 变式：1-2，3-2，s-2 2-1，3-2，s-s-1 （三）基础解系（三）基础解系 6、基础解系定义： （1）1，2，s 是 Ax=0 的解 （2）1，2，s 线性相关 （3）Ax=0 的所有解均可由其线性表示 基础解系即所有解的极大无关组 注：基础解系不唯一。 任意 n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。 7、重要结论：（证明也很重要） 设 A 施 mn 阶矩阵，B 是 ns 阶矩阵，AB=O （1）B 的列向量均为方程 Ax=0 的解 （2）r（A）+r（B
