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1、- 1 - 高中数学必修高中数学必修 4 知识点知识点 第一章 三角函数 第一章 三角函数 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何 象限，叫做轴线角轴线角。 第一象限角的集合为 36036090 ,kkk 第二象限角的集合为 36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为 360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为 360270360360 ,kkk
2、终边在轴上的角的集合为x 180 ,kk 终边在轴上的角的集合为y 18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,kk 3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合Zkk,360| 4、弧度制： （1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 半径为的圆的圆心角所对弧的长为 ，则角的弧度数的绝对值是rl l r （2） 度数与弧度数的换算度数与弧度数的换算 ：， rad， 1 rad2360o 180 185730.57) 180 ( 注：注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为，弧度为； o n 角度化为弧度：，弧度化为角度：180180 n
3、 nn o oo o o 180180 （3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数） ，半径为，则：r 弧长公式： （用弧度表示的）rl| ；, 180 （用度表示的） n l - 2 - 扇形面积： （用弧度表示的）)( 360 2 用度表示的 扇 rn s lrrS 2 1 | 2 1 2 扇 5、三角函数: （1）定义定义：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标 是，它与原点的距离是，, x y 22 0r OPrxy 则，sin y r cos x r tan0 y x x 定义 定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)， 那么 v 叫做的正弦，记作 sin,即 sin
4、y; u 叫做的余 弦，记作 cos，即 cos=x; 当的终边不在 y 轴上时， 叫做的正切，记作 tan, 即 tan=. x y x y （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 的角度的角度030456090120135150180 的弧度0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 sin0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan0 3 3 13不存在31 3 3 0
5、 的角度210225240270300315330360 的弧度 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7 6 11 2 sin 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 P(x,y) y x o sin x y + _ O x y + + _ _ cos O tan x y + + _ _ O P(x,y) y x o - 3 - tan 3 3 13不存在31 3 3 0 （4）三角函数线：如下图 （5）同角三角函数基本关系式 （）平方关系：（）商数关系：1cossin 22 cos sin tan 6、三
6、角函数的诱导公式： ， 1 sin 2sinkcos 2cosktan 2tankk 口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等 ， 2 sinsin coscostantan ， 3 sinsincoscos tantan ， 4 sinsin coscos tantan ， 5 sin 2sin cos 2costan 2tan 口诀：函数名称不变，正负看象限 ， 6 sincos 2 cossin 2 tancot 2 ， 7 sincos 2 cossin 2 tancot 2 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限 诱导公式记忆口诀 ： “奇变偶不变， 符号看象限”诱导公式记忆口诀 ： “奇变
7、偶不变， 符号看象限” 。即将括号里面的角拆成即将括号里面的角拆成 2 k 的形式。的形式。 - 4 - 7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 sinyx cosyxtanyx 图 象 定 义 域 RR , 2 x xkk 值 域 值域： 1,1 当时，2 2 xk k ；当 max 1y2 2 xk 时，k min 1y 值域：1,1 当时， 2xkk ；当 max 1y2xk 时，k min 1y 值域：R 既无最大值也无最小值 周 期 性 是周期函数；周期为sinyx 且；2,TkkZ0k 最小正周期为2 是周期函数；周期cosyx 为且；2,TkkZ0k 最小正周期为
8、2 是周期函数；周tanyx 期为且,TkkZ ；最小正周期为0k 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2,2 22 kk 上是增函数；在k 3 2,2 22 kk 上是减函数k 在上2,2kkk 是增函数 ； 在2,2kk 上是减函数k 在, 22 kk 上是增函数k 对 称 对称中心,0kk对称中心对称中心 - 5 - 性 对称轴 2 xkk ,0 2 kk 对称轴xkk ,0 2 k k 无对称轴 8、（1）的图象与图像的关系：sinyxb Axysin 振幅变换： xysinxAysin 周期变换： xysinxysin 相位变换： xysin)sin(xy 平移变换： )s
9、in(xAy sinyxb A 注：函数的图象怎样变换得到函数的图象：（两种方法）xysinsinyAxB 先平移后伸缩： 先平移后伸缩： 平移个单位 sinyx| |sinyx （左加右减） 纵坐标不变 )sin(xy 横坐标变为原来的倍 1 | 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移个单位 |BsinyAxB （上加下减） 先伸缩后平移： 先伸缩后平移： 纵坐标不变 sinyxxysin 横坐标变为原来的倍 1 | 平移个单位 )sin(xy 图象整体向左（）或向右（）平移个单位00 图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍 图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵
10、坐标不变 1 图象整体向上（）或向下（）0b0b 平移个单位b - 6 - （左加右减） 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移个单位 |BsinyAxB （上加下减） （2）函数的性质：)0, 0()sin(AbxAy 振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：A 2 1 2 f x 定义域：R 值域：,Ab Ab 当时，；2 2 xk k max yAb 当时，2 2 xk k min yAb 周期性：函数是周期函数；周期为 )0, 0()sin(AbxAy 2 T 单调性：在上时是增函数；x2,2 22 kk k 在上时是减函数x 3 2,2 22 kk k 对称性：对称中
11、心为；对称轴为,0 k k x 2 kk 第二章 平面向量第二章 平面向量 1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示 2、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的0 3、 单位向量 ： 长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量 ； 与向量平行的单位向量 ：a | a a e 4、 平行向量 （共线向量） ： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量， 记作；ba/ 规定与任何向量平行0 5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等. 注意 ：注意 ：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并
12、且与有向线段的起点无关。 - 7 - 6、向量加法运算： 三角形法则的特点： 首尾相接 平行四边形法则的特点： 起点相同 运算性质： 交换律：；abba 结合律：； abcabc 00aaa 坐 标 运 算 ： 设， 则 11 ,ax y 22 ,bxy 1212 ,abxxyy 7、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设，则 11 ,ax y 22 ,bxy 1212 ,abxxyy 设、两点的坐标分别为，则A 11 ,x y 22 ,xy 2121 ,xx yyA 8、向量数乘运算： 实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a a ；aa
13、 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；0a a 0a a 当时，00a 运算律：；aa aaa abab 坐标运算：设，则,ax y ,ax yxy 9、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使 0a a b ba 设， 其中， 则当且仅当时， 向量、 11 ,ax y 22 ,bxy 0b 1221 0 x yx ya 0b b 共线 10、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 1 e 2 e 的任意向量，有且只有一对实数、，使 （不共线不共线的向量、作为a 1 2 1 122 aee 1 e 2 e b a C A abCC
14、AA - 8 - 这一平面内所有向量的一组基底） 11、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是， 12 1 2 11 ,x y 22 ,xy 当时，点的坐标是 12 1212 , 11 xxyy 12、平面向量的数量积： 定义：零向量与任一向量的数量积为 cos0,0,0180a ba bab 0 性质 ： 设和都是非零向量， 则 当与同向时，；a b 0aba b a b a ba b 当与反向时，；或a b a ba b 2 2 a aaa aa a a ba b 运算律：；a bb a aba bab abca cb c 坐标运算：设两个非零向量，则 11 ,ax y 22 ,bxy 1212 a bx xy y 若，则，或,ax y 2 22 axy 22 axy 设，则 11 ,ax y 22 ,bxy 1212 0abx xy y 设、都是非零向量，是与的夹角，则a b 11 ,ax y 22 ,bxy a b 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 第三章 三角恒等变形 第三章 三角恒等变形 1、同角三角函数基本关系式 （）平方关系：（）商数关系：1
