《高中数学必修一知识点总结(全) (2)-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修一知识点总结(全) (2)-修订编选（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第一章 集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3. 集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例 ： 世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人 （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集
2、合 例：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 （1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 xR| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例
3、：x|x2=5 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 （1）定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有 包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作：（或B ）BA 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；BA （2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集
4、合 A,记作 A B 或 BA 2“相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集， 记作 AB(或 BA) 或若集合 AB，存在 x B 且 x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集。 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个
5、真子集 课时三、集合的运算 运算类型交 集并 集补 集 定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫 做 A,B 的交集记作 AB （读作 A 交 B）， 即 A B=x|xA，且 xB 由所有属于集合 A 或属 于集合 B 的元素所组成 的集合，叫做 A,B 的并 集记作 ： AB（读作A 并 B），即 AB =x|x A，或 xB) 全集：一般，若一个集合汉语我 们所研究问题中这几道的所有 元素，我们就称这个集合为全 集，记作：U 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个 子集， 由 S 中所有不属于 A 的元 素组成的集合， 叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作，ACS
6、CSA=,|AxSxx且 韦恩图示 S A 3 性 质 A A=A A = A B=BA A BA A BB AUA=A AU =A AUB=BUA AUB AUBB (CuA)(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(AB) AU(CuA)=U A(CuA)= 课时四：函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使 对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应， 那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA （1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范
7、围 A 叫做函数的定义域； （2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函 数的值域 2函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域 （2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以 是连续的曲线、 直线、 折线、 离散的点等等。 （3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义 域的特征。 4、函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数 值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图 象C 上每一点的坐标(x，y)均
8、满足函数关系y=f(x)，反过来，以满 足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。 （3）函数图像变换的特点： 1）函数 y=f(x) 关于 X 轴对称 y=-f(x) 2）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称 y=f(-x) 3）函数 y=f(x) 关于原点对称 y=-f(-x) 课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法 1、函数解析式子的求法 4 （1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系 时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （
9、2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法： 2）待定系数法： 3）换元法： 4)拼凑法： 2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么， 它的定义域是使 各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、 相同函数的判断方法 ： 表达式相同 （与表示自变量
10、和函数值的字母无关） ； 定义域一致 (两点必须同时具备) 4、区间的概念： （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 课时六： 1值域 : 先考虑其定义域 （1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法 ： 针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的 函数关系式，由 X 的范围类似求 Y 的范围。 (3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值 域，注意定义域的范围。 (4)代换法 （换元法） ： 作变量代换， 针对根式的题型， 转化成二次函数的类型。 5 课时七 1
11、.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 （2）各部分的自变量的取值情况 （3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g 的复 合函数。 （4）常用的分段函数 1）取整函数： 2）符号函数： 3）含绝对值的函数： 2映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对 于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那 么就称对应 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个
12、映射。 记作 “f（对应关系） ： A（原 象）B（象）” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。 所以函数是映射，而映射不一定的函数 课时八函数的单调性(局部性质)及最值 1、增减函数 （1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意 两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说
13、f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 6 （2）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)， 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调 不减两种 2、 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数 的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法
14、： 任取 x1，x2D，且 x11，且 * axnxannnN 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数。 此时，a 的 n 次方根用符号 表示。 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次方 根与负的 n 次方根可以合并成 （a0）。 注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作。00 n 当 是奇数时，当 是偶数时，naa nn n )0( )0( | a a a a aa nn 式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数
15、。 3、分数指数幂 正数的分数指数幂的 ，) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 4、有理数指数米的运算性质 （1） r a srr aa ；), 0(Rsra （2） rssr aa)( ；), 0(Rsra （3） srr aaab)( ), 0(Rsra 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数 幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 课时十五：指数函数的性质及其特点（1） 1、指数函数的概念：一般地，
16、函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，) 1, 0(aaay x 且 10 函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1为什么？ 2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像： （1） （2） （3） （4） （5） 课时十六：指数函数的性质及其特点（1） 指数函数的图象和性质 a10a1 时，若 X1X2 ,则有 f(X1)1a10a1 向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图像关于原点和 Y 轴不对称非奇非偶函数 函数图像都在 X 轴的上方函数的值域为 R+ 函数图象都过定点（0，1）a0=1 自左向右看图像逐渐 上升。 自左向右看图像逐渐 上升。 增函数减函数 在第一象限内图像纵 坐标都大于 1。 在第一象限内图像纵 坐标都大于 1。 x0，ax1x0， ax 1 在第二象限内图像纵 坐标都小于 1。 在第二象限内图像纵
