《数学B版教学设计-第一册第二章第2课时-一元二次方程的解集及其根与系数的关系1--修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学B版教学设计-第一册第二章第2课时-一元二次方程的解集及其根与系数的关系1--修订编选（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（一元二次方程的解集及其根与系数的关系（1） 教学课时教学课时：第 1 课时 教学目标教学目标： 1、 学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解； 2、 通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想； 3、 引入换元法解一元二次方程的思想， 体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法 ； 4、 结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提 升数学抽象、数学运算的学科素养. 教学重点：教学重点： 配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别.
2、 教学难点教学难点： 对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化. 教学过程：教学过程： 一、提出问题： 九章算术第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木， 出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何. 问题二十的译文 ： 今有正方形小城，其边长是未知数，城墙各边正中都开有一门.出北门，20 步处有一棵树，出南门 14 步，转向西走 1775 步恰好能看见那棵树.求正方形小城的边长是 多少. 根据题中的描述可 作出示意图，如图所 示， 其中点代表北A 门，处是木，BC 点代表南门，而且，求正方形的边长.20AB 14CD 1
3、775DE 【设计意图】 1.以九章算术中的例子作为一元二次方程的引入，意在展示我国古代数学成就和我国数 学文化悠久的历史， 引导师生共同学习祖先留给我们的珍贵文化遗产， 并激励学生将有关数 学文化发扬光大. 附.九章算术 ，我国古代数学专著，是算术十书 （唐汉之间出现的十部算书）中最重 要的一部， 其作者已不可考， 一般认为它是经过历代各家的增补修订而逐渐发展成为现今定 本的.魏晋是刘徽为九章算术作注时说 ： “周公制礼而有九数，九数之流则九章是矣”， 又说“汉北平侯张苍，大思农中丞耿寿昌皆以善算命世.苍等因旧文之遗残，各称删补，故校 其目则与古或异，而所论多近语也”.可见九章算术上承先秦数
4、学发展之源流，入汉之后 又经许多学者的删补方才最后成书的，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成. 2.学生对于实际问题抽象得到的方程用上节课复习的十字相乘法求解有一定的困难，这就为 引入配方法做好了准备. 二、自主探索 面对我们用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程，我们该如何下手去研究呢？ 提出问题：提出问题：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解 集？ 【设计意图】【设计意图】从最简单的、容易得到解集的一元二次方程出发，逐步一般化，引出配方法. 注意我们所想解决的是一类问题，而不是一个具体问题，所以我们首先研究的是可以化为 的形式的一元二次方程的解集，其中
5、 为常数. 2 xtt 【学生活动【学生活动 1】 1.独立完成 P48 的第一个探索与发现； 2.学生独立完成后相互交流下各自的答案. 一般地，方程： 2 xt （1）当时，解集为；0t , tt （2）当时，解集为；0t 0 （3）当时，解集为.0t 一般地，方程： 2 xkt （1）当时，解集为；0t ,kt kt （2）当时，解集为；0t k （3）当时，解集为.0t 【设计意图设计意图】 对于大部分学生而言，答案不是问题，能否真的懂得“尝试与发现”想得到的内容才是关 键，还有就是在发现过程中所蕴含的从特殊到一般的数学研究方法.书上之所以分成两个“尝 试与发现”想必原因如此，交流过程中
6、教师一定要帮助学生梳理下这类问题的研究方法：从 特殊问题入手研究一类问题， 然后适度放开限制条件， 尝试把问题向已经掌握的特殊问题进 行转化，最后彻底放开，结合前面的经验，把一般问题都转化为特殊问题进行解决.切忌不 要变成背默填空的形式. 【学生活动学生活动 2】 3.结合前面教师的讲解，学生尝试独立完成第二部分的“尝试与发现”； 4.相互交流，谈谈“尝试与探究”的结果与初中所学的公式法求解的关系以及判别式研究方程 根的情况的异同. 一元二次方程化为的形式，过程如下： 2 00axbxca 2 xkt 因为，所以方程可化为，0a 2 0 bc xx aa 因为 22 22 22 bcbbbc
7、xxxx aaaaaa 2 2 2 4 24 bbac x aa 所以原方程可变形为, 2 2 2 4 24 bbac x aa 从而可知，的符号情况决定了上述方程的解集情况： 2 4bac （1）当时，方程的解集为； 2 40bac 22 44 , 22 bbacbbac aa （2）当时，方程的解集为； 2 40bac 2 b a （3）当时，方程的解集为. 2 40bac 【设计意图设计意图】 本课时的主旨内容在此， 数学探索过程远比数学求解过程重要的多， 也是数学学习最想 带给学生的最核心的“知识”，经历探索过程，体会数学的学习中从特殊到一般的研究方式和 数学问题间相互转化的研究方法.
8、 补充说明 ： 原方程变形为后， 需要进行的方程两边同时开平方的运算， 2 2 2 4 24 bbac x aa 其结果应为， 2 2 4 24 bbac x aa 即， 2 4 22 bbac x aa 即， 2 4 22 bbac x aa 因此，最终我们可以得到. 2 4 22 bbac x aa 三、例题讲解 例 1 求方程的解集.210 xx 分析：面对一个有根号的方程，如何去掉根号化为一个普通方程是我们解决问题的关键. 面对这道题目一种方式是把看成一个整体，向着一元二次方程去进行转化；另外一种方x 式是能否通过完全平方的方式去掉根号呢？ 解法一：设，则，且原方程可变为，xy0y 2
9、 210yy 所以， 2 212yy 所以， 2 12y 所以或（舍）.12y 12y 从而，即，12x 32 2x 所以原方程的解集为. 32 2 解法二：原方程可化为，12xx 因为，所以，即.0 x 10 x 1x 方程两边平方得：， 2 214xxx 化简得：， 2 610 xx 所以， 2 698xx 所以， 2 38x 所以，或（舍） ，32 2x 32 2x 所以原方程的解集为. 32 2 【设计意图设计意图】 对于初中掌握的比较好的同学， 这个问题初三就可以解决， 这里提出这个问题我想是基 于两方面的考虑（如果学生没有想到，不建议讲方法二） ，一个是突出换元法，另一个是关 注使
10、用换元法的限制条件（讲方法二的时候虽然不是换元法，但也要关注限制条件）.数学 是一门追求严谨的科学， 对于可能遇到的问题， 尤其是变形中遇到的问题， 一定要做好预案， 这个预案可以是方式方法上的， 如书上所强调的更换字母同时提出限制条件， 也可以是思想 上的，比如不更换字母，那么我们需要在一开始就想好我们对求解的未知数的限制. 四、课堂练习 1. 求下列方程的解集： （1）； 42 20 xx （2）； 2 2 3 20 x x （3）. 2 2 11 40 xx xx 参考答案：（1）；（2）；（3） 2,2 3,3 . 15 15 12, 12, 22 【设计意图设计意图】巩固换元法求解一
11、元二次方程，在求解的计算过程中，鼓励学生使用十字相乘 法和配方法的求解方式 2.（课本第 80 页 A 组第 5 题）已知关于的一元二次方程有两个不相等x 2 210m xx 的实数根，求实数的取值范围.m 参考答案： ( 1,0)(0,1) 【设计意图设计意图】以本节课所学内容为背景，进一步深化第一章的集合的相关内容，结合具体的 问题，巩固方程根的判别. 3. （课本第 80 页 A 组第 15 题） 如图，要在长的墙的一边，25mEF 通过砌墙来围一个矩形花园，ABCD 与围墙平行的一边上要预留BC3m 宽的入口（如图中所示， 入口不用MN 砌墙） ， 用能砌长墙的材料砌46m 墙，当矩形
12、的长为多少米时，矩形花园的面积为？BC 2 299m 【设计意图设计意图】再次体会数学抽象解决实际数学问题，学以致用. 五、归纳总结： 1.配方法从特殊到一般求解一般一元二次方程的过程； 2.借助换元法转化为一元二次方程进行求解处理过程中的注意事项； 3.中国古代数学专著九章算术赏析. 考试前励志的话语 1把握现在、就是创造未来。期末考试，加油！ 2认真听讲常常成绩好，认真自学永远成绩好。 3当你在想玩什么，有人在想学什么；当你还在计划，有人已出发； 当你决定放弃，有人却坚信前进就有希望。人生路上，差之毫厘，谬 以千里。期末考试，加油！ 4（学科教研组期末学业水平检测精选汇编）我们的未来不是梦。 5成功的人找方法，失败的人找借口。 6不要放弃，放弃了今天就是放弃了一辈子。 7 不管什么年纪， 别辜负最好的时光。 把每一句 “我不会” 都改为 “我 可以学”，把每一句“我不敢”都改为“我一定行”。尝试总比永远 不敢开始要强！经历了才无侮！ 8如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟， 以希望为哨兵。期末考试，加油！ 9拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 10不问收获，但问耕耘！天道酬勤。期末考试，加油！
