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1、1 高中数学必修五知识点总结高中数学必修五知识点总结 解直角三角形.2解直角三角形.2 数列.5数列.5 不等式.11不等式.11 2 解三角形复习知识点解三角形复习知识点 一、知识点总结一、知识点总结 【正弦定理】【正弦定理】 1正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).2 sinsinsin abc R ABC 2. .正弦定理的一些变式： ； sinsinsini a b cABC sin,sin,sin 22 ab iiABC RR 2 c R ；（4）2 sin,2 sin,2 siniii aRA bRB bRCR CBA cba 2 sinsinsin 3两类正弦定理解三角形的问题
2、： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理】【余弦定理】 1余弦定理： 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cbabaC 2.推论：. 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac bac C ab 设、是的角、的对边，则：abcCAAC 若，则； 222 abc90C 若，则； 222 abc90C 若，则 222 abc90C 3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的
3、夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式】【面积公式】 已知三角形的三边为 a,b,c, 3 1.（其中为三角形内切圆半径） 111 sin() 222 a SahabCr abcr 2.2.设, ,)( 2 1 cbap )()(cpbpappS 【三角形中的常见结论】【三角形中的常见结论】 （1）(2) CBAsin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC ,;, 2 cos 2 sin CBA 2 sin 2 cos CBA AAAcossin22sin （3）若 CBAcba CBAsinsinsin 若CBAsinsinsin cba CBA （大边对大角，
4、小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于，最小角小于等于 60 60 (6) 锐角三角形 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. 钝角三角形钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值 （7）中，A,B,C 成等差数列的充要条件是.ABC 60 B (8) 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列.ABC 二、题型汇总二、题型汇总 题型 1【判定三角形形状】题型 1【判定三角形形状】 判断三角形的类型 （1） 利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判
5、定三角形形状时， 可利用正余弦定理实现 边角转化，统一成边的形式或角的形式. （2）在中，由余弦定理可知:ABC 222 222 222 是直角ABC 是直角三角形 是钝角ABC 是钝角三角形 是锐角 abcA abcA abcA ABC 是锐角三角形 （注意：）是锐角A ABC 是锐角三角形 (3) 若，则 A=B 或.BA2sin2sin 2 BA 例 1.在中，且，试判断形状.ABC Abccos2 abcbacba3)( ABC 4 题型题型 2【解三角形及求面积】【解三角形及求面积】 一般地， 把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几
6、个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形. 例 2.在中，求的值ABC 1 a3 b 0 30 A 例 3.在中，内角对边的边长分别是，已知，ABC CBA,cba,2 c 3 C （）若的面积等于，求；ABC 3ba, （）若，求的面积AABC2sin2)(sinsin ABC 题型题型 3【证明等式成立】【证明等式成立】 证明等式成立的方法：（1）左右， （2）右左， （3）左右互相推. 例 4.已知中，角的对边分别为，求证：.ABC CBA,cba,BcCbacoscos 题型题型 4【解三角形在实际中的应用】【解三角形在实际中的应用】 仰角 俯角 方向角 方位角 视角 例 5如图所示
7、，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目 标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船 在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110，航行半小时到达 C 点观测 灯塔 A 的方位角是 65， 则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是 多少？ 5 数列知识点数列知识点 1. 等差数列的定义与性质 定义： 1nn aad （d为常数） ， 1 1 n aand 等差中项：xAy， ，成等差数列2Axy 前n项和 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质： n a是等差数列 （1）若mnpq，则 mnpq aaaa； （2）数列仍为等差数列，
8、 232nnnnn SSSSS， 仍为 12212 , nnn aaa 等差数列，公差为；dn2 （3）若三个成等差数列，可设为adaad， ， （4）若 nn ab，是等差数列，且前n项和分别为 nn ST，则 21 21 mm mm aS bT （5） n a为等差数列 2 n Sanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数） n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn的最值；或者求出 n a中的正、负 分界项， 即：当 1 00ad，解不等式组 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最大值时的n值. 当 1 00ad，由 1 0 0 n n a a 可得 n S达到
9、最小值时的n值. (6)项数为偶数的等差数列 n a ，有 n2 ),)()()( 11122212 为中间两项 nnnnnnn aaaanaanaanS ，.ndSS 奇偶 1 n n a a S S 偶 奇 6 （7）项数为奇数的等差数列 n a ，有 12 n ，)() 12( 12 为中间项 nnn aanS ，. n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1n n a q a （q为常数，0q ） ， 1 1 n n aa q . 等比中项：xGy、 、成等比数列 2 Gxy，或Gxy . 前n项和： 1 1 (1) 1 (1) 1 n n n
10、a q Saq q q （要注意！） 性质： n a是等比数列 （1）若mnpq，则 mnpq aaaa （2） 232nnnnn SSSSS， 仍为等比数列,公比为. n q 注意注意：由 n S求 n a时应注意什么？ 1n 时， 11 aS； 2n 时， 1nnn aSS . 3求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列 n a， 12 2 111 25 222 n n aaan ，求 n a 解解 1n 时， 1 1 2 1 5 2 a ， 1 14a 2n 时， 121 21 111 21 5 222 n n aaan 得： 1 2 2 n n a ， 1 2n n a
11、， 1 14(1) 2(2) n n n a n 练习数列 n a满足 111 5 4 3 nnn SSaa ，求 n a 7 注意到 11nnn aSS ，代入得 1 4 n n S S ； 又 1 4S ， n S是等比数列， 4n n S 2n 时， 1 1 3 4n nnn aSS （2）叠乘法 如：数列 n a中， 1 1 3 1 n n an a an ，求 n a 解解 32 121 1 21 2 3 n n aaan aaan ， 1 1 n a an 又 1 3a ， 3 n a n . （3）等差型递推公式 由 110 ( ) nn aaf naa ，求 n a，用迭加法
12、2n 时， 21 32 1 (2) (3) ( ) nn aaf aaf aaf n 两边相加得 1 (2)(3)( ) n aafff n 0 (2)(3)( ) n aafff n 练习数列 n a中， 1 11 132 n nn aaan ，求 n a （ 1 31 2 n n a ） （4）等比型递推公式 1nn acad （cd、为常数，010ccd，） 可转化为等比数列，设 11 1 nnnn axc axacacx 令(1)cxd， 1 d x c ， 1 n d a c 是首项为 1 1 d ac c ，为公比的等比数 列 1 1 11 n n dd aac cc ， 1 1
13、11 n n dd aac cc （5）倒数法 8 如： 11 2 1 2 n n n a aa a ，求 n a 由已知得： 1 2111 22 n nnn a aaa ， 1 111 2 nn aa 1 n a 为等差数列， 1 1 1 a ，公差为 1 2 ， 111 111 22 n nn a ， 2 1 n a n ( 附： 公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比 1( 2) 1( 1) nn SSn S n n a 或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳 1nn apaq 1 ( ) nn apaf n 法、换元法 ) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法
14、 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： n a是公差为d的等差数列，求 1 1 1 n k kk a a 解：解：由 11 11111 0 kkkkkk d aaaaddaa 11 1112231 11111111111 nn kk kkkknn a adaadaaaaaa 11 111 n daa 练习求和： 111 1 12123123n 1 2 1 nn aS n ， （2）错位相减法 9 若 n a为等差数列， n b为等比数列，求数列 nn a b（差比数列）前n项和， 可由 nn SqS，求 n S，其中q为 n b的公比. 如： 231 1234 n n Sxxxnx 2341 2341 nn n x Sxxxxnxnx 21 11 nn n x Sxxxnx 1x 时， 2 1 1 1 n n n x nx S x x ，1x 时， 1 123 2 n n n Sn （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121 121 nnn nnn Saaaa Saaaa 相加 1211 2 nnnn Saaaaaa 练习已知 2 2 ( ) 1 x f x x ，则 111 (1)(2)(3)(4) 2
