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1、 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（ ）是子群。 A、 B、 C、 D、 aea, 3 ,ae 3 ,aae 2、下面的代数系统（G，*）中， （ ）不是群 A、G 为整数集合，*为加法 B、G 为偶数集合，*为加法 C、G 为有理数集合，*为加法 D、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a
2、*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、 设、是三个置换， 其中=（12） （23） （13） ，=（24） （14） ，= 1 2 3 1 2 3 （1324） ，则=（ ） 3 A、 B、 C、 D、 1 2 1 2 2 2 2 1 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ ） 。 A、不可能是群B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。 2、一个有单位元的无零因子-称为整环。 3、已知群中的元素的阶等于 50，则的阶等于
3、-。 Ga 4 a 4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G 与-同构。 5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AB=-。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-。 7、叫 做 域的 一 个 代 数 元 ， 如 果 存 在的 -使 得 FFn aaa, 10 。 0 10 n n aaa 8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-a) 0 , (AAxxaxa -。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足 GG 对于乘法封闭；结合律成立、-。 10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30
4、 分） 1、设集合 A=1,2,3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I,(1 2)，写出 H 的 所有陪集。 2、设 E 是所有偶数做成的集合， “”是数的乘法，则“”是 E 中的运算， （E，）是一 个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？ 3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和 p, q。 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使得 a*xb。 2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系：ab 当且仅当 m ab。 近世代数模
5、拟试题三近世代数模拟试题三 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。 1、6 阶有限群的任何子群一定不是（ ） 。 A、2 阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶 2、设 G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定 G 是交换群。 A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ） 。 A、偶数 B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A、 （N,） B、 （Z,） C、 （2,
6、3,4,6,12,|（整除关系） ） D、 (P(A),) 5、 设 S3(1)， (12)， (13)， (23)， (123)， (132)， 那么， 在 S3 中可以与(123) 交换的所有元素有（ ） A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3 中的所有元素 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。 2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则- f AAaA aff 1 -。 3、区间1，2上的运算的单位元是-
7、。,minbaba 4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。 5、环 Z8的零因子有 -。 6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。 8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-。 9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为- Gamea n mn -。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是 A 的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换，。 )1245)(1
8、345( 6 )456)(234(S 1求和； 1 2确定置换和的奇偶性。 1 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。 2、M 为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。 近世代数模拟试题一近世代数模拟试题一 参考答案参考答案 一、单项选择题。 1、C；2、D；3、B；4、C；5、D； 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。 1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变 1 , 2,0 , 2,1, 21 , 1,0 , 1,1,
9、1 换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或 S=R ；9、域； 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： )8)(247)(1653()6)(57)(48)(123( 可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积： )27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13( 2、解：设 A 是任意方阵，令，则 B 是对称矩阵， )( 2 1 AAB)( 2 1 AAC 而 C 是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称 CBA 11 CBA 1 B 1 C 矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是
10、反对称 CCBB 11 矩阵，于是两边必须都等于 0，即：，所以，表示法唯一。 1 BB 1 CC 3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素 0 和 m。 m M m m M 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、对于 G 中任意元 x，y，由于，所以（对每 exy 2 )(yxxyxyxy 111 )( 个 x，从可得） 。 ex 21 xx 2、证明在 F 里 )0,( 11 bRba b a abab 有意义，作 F 的子集 )0,( bRba b a Q所有 显然是 R 的一个商域 证毕。 Q 近世代数模拟试题二近世代
11、数模拟试题二 参考答案参考答案 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A； 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。 1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、 不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 ) H 的 3 个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2
12、3)，(1 3 2 )，(1 3 ) 2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、 证明 设 e 是群的幺元。 令 xa1*b， 则 a*xa*(a1*b)(a*a 1)*be*bb。所以，xa1*
13、b 是 a*xb 的解。 若xG也是a*xb的解， 则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。 所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。 2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记Z 为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为，a 称之为模 m 剩余类。若 mab 也记为 ab(m)。 当 m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。 近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三 参考答案参考答案 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题
14、后的括号内。错选、 多选或未选均无分。 1、C；2、C；3、D；4、D；5、A； 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、 a ； nm 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用 黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共 8 种。 2、 证 由上题子环的充分必要条件， 要证对任意 a,
15、bS1S2 有 a-b, abS1S2 ： 因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, abS1 和 a-b, abS2 ， 因而 a-b, abS1S2 ，所以 S1S2 是子环。 S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： 3、解： 1，； )56)(1243()16524( 1 2两个都是偶置换。 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a，由理想的定 0 义，因而 R 的任意元 1 1a a1bb 这就是说=R，证毕。 2、证 必要性：将 b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以 b=a-1。
