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1、1 平面向量平面向量知识点分类复习知识点分类复习 深圳明德实验学校 刘凯深圳明德实验学校 刘凯 1、向量有关概念1、向量有关概念： （1）向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来 表示，注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。 配合练习 1、配合练习 1、已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量按向量（1,3）平移后得到的AB a 向量是_ （2）零向量零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的；0 （3）单位向量单位向量：给定一个非零向量，与同向且长度为 1
2、的向量叫向量的单位向量. a a a 的单位向量是；a | a a （4）相等向量相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5） 平行向量 （也叫共线向量）平行向量 （也叫共线向量） ： 如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行， 记作：，规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行。ab 提醒提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条 直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条 直线重合；平行向量无传递性平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；0 ABC、 、AB AC 、
3、（6）相反向量相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。aa 配合练习 2、配合练习 2、下列命题：（1）若，则。 （2）两个向量相等的充要条件是它ab ab 们的起点相同，终点相同。 （3）若，则是平行四边形。 （4）若是平ABDC ABCDABCD 行四边形，则。 （5）若，则。 （6）若，则。其中ABDC ,ab bc ac / , /ab bc /ac 正确的是_ 2、向量的表示方法2、向量的表示方法： （1）几何表示法 ： 用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后 ； （2）AB 符号表示法 ： 用一个小写的英文字母来表示，如，等 ； （3）坐标表示法 ：
4、abca, x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。a 提醒：向量的起点不在原点向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同. 练习 1、练习 1、 （04 年上海卷.文 6）已知点 A(-1,5)和向量,若,则点 B 的坐标(2,3)a 3ABa 为 . (5,14) 3.平面向量的基本定理3.平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该 平面内的任一向量 a，有且只有一对实数、，使 a=e1e2，e1、e2称为一组基底. 1 2 1 2 注：注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：
5、把参与的向量用一组基底表示出来，使其关 系容易沟通. 配合练习 3、配合练习 3、若，则用表示_(1,1),ab (1, 1),( 1,2)c , a b c 配合练习 4 配合练习 4 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. 12 (0,0),(1, 2)ee 12 ( 1,2),(5,7)ee C. D. 12 (3,5),(6,10)ee 12 13 (2, 3),( ,) 24 ee 配合练习5、配合练习5、 已知分别是的边上的中线,且,则,AD BE ABC,BC AC,ADa BEb BC 可用向量表示为_, a b 2 配合练习 6、配合练习 6、已知中，点在边上
6、，且，ABCDBC DBCD2 ACsABrCD 则的值是_sr 4、实数与向量的积4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向aa 规定如下：当0 时，的方向与的方向相同，当0；当与异向时，0。 a b a b |的大小由及的模确 a b定。因此，当，确定时，的符号与大小 a b 就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。 (2) 若=（）,b b=（） ，则a 11, y x 22, y x 0/ 1221 yxyxba 22 ()(|)a ba b （3）a b 22 ()(|)a ba b 配合练习 28、配合练习 28、若向量，当_时与共线且方向相同( ,1),(
7、4, )axbx xa b 配合练习 29、配合练习 29、已知，且，则 x_(1,1),(4, )abx 2uab 2vab /uv 配合练习 30、配合练习 30、设，则 k_时，A,B,C 共线( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk ( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk 练习练习（04 年上海卷.理 6）已知点,若向量与同向, =,(1, 2)AAB (2,3)a |AB 2 13 则点 B 的坐标为 .(5,4)B 证明平行问题证明平行问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量平行 | | b a 6 9、向量垂直的充要条件9、向量垂直的充要条件
8、： .0| |aba babab 1212 0 x xy y 特别地。()() ABACABAC ABACABAC 配合练习 31、配合练习 31、已知，若，则 ( 1,2),(3,)OAOBm OAOB m 配合练习32、配合练习32、 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， 则点B90B 的坐标是_ 配合练习 33、配合练习 33、已知向量，且，则的坐标是_ （( , ),na b nm nm m 证明垂直问题证明垂直问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量垂直 线段的定比分点线段的定比分点： 配合练习 34、配合练习 34、若 M（-3，-2） ，N（6，-1）
9、 ，且，则点 P 的坐标为_ 1 M PM N 3 配合练习 35、配合练习 35、 已知， 直线与线段交于， 且，( ,0), (3,2)A aBa 1 2 yaxABM2AMMB 则等于_a 10.向量中一些常用的结论10.向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2），特别地，当同向或有同向或有| | |ababab a b 、0 | |abab ；当反向或有反向或有；当不不| |abab a b 、0 | |abab | |abab a b 、 共线共线| | | |ababab (这些和实数比较类似). （ 3） 在中 ， 若， 则 其
10、重 心 的 坐 标 为ABC 112233 ,A x yB xyC xy 。 123123 , 33 xxxyyy G 配合练习 36、配合练习 36、若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 （-1，-1） ，则ABC 的 重心的坐标为_ 为的重心，特别地 1( ) 3 PGPAPBPC GABC0PAPBPCP 为的重心；ABC 为的垂心；PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在()(0) | ACAB ABAC ABCBAC 直线)； （ 3） 向 量中 三 终 点共 线存 在 实 数使 得PA PB PC 、ABC、 、 且.
11、PAPBPC 1 配合练习 37、配合练习 37、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足O) 1 , 3(A)3 , 1(BC 7 ,其中且,则点的轨迹是_ OC OBOA 21 R 21, 1 21 C 巩固：1已知已知|2，|1，则与夹角是，则与夹角是( ) a b bba)(12 ab （A）30（B）45（C）60（D）90 2若向量，且的夹角为若向量，且的夹角为 30，则等于（，则等于（ ） A. B. C. 5D. 3 3 已知向量已知向量 a 与与 b 的夹角为的夹角为 120,且|且|a|=2, |=2, |b|=5,则(2|=5,则(2a-b)a= . 4已知已知|a|=1，|b|=， （， （1）若）若 a/b，求，求 ab；（；（2）若）若 a，b 的夹角为的夹角为 135，求，求|a+b|.2 5 （09 年广东文科高考 16 题）已知向量与互相垂直，其中sin2a, 1 cosb ， . （1）求和的值；（2）若 5cos(-)= (0)，0 2 ，sincos3 5cos 2 求的值。(这一问用到下学期的和差公式,可推迟做)cos
