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1、20122012 年高考真题理科数学解析汇编：概率年高考真题理科数学解析汇编：概率 一、选择题 1 （2012 年高考（辽宁理）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C现作一矩形 ,领边长 分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为（） A 1 6 2 B 1 3 C 2 3 D 4 5 2 （2012 年高考 （湖北理） ）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概 率是（） A1 C 2 2 1 2 1 1 B D 3 （2012 年高考（广东理）(概率)从个位数与十位数之和为奇
2、数的两位数 中任取一个,其个位数为 0 的概率是 A 4 9 （） C 2 9 B 3 1 D 1 9 0 x 2 4 （2012 年高考（北京理）设不等式组表示的平面区域为 0 y 2 D 在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是（） A 4 B 2 2 C 6 4 D 5 4 4 5 （2012 年高考 （上海理） ）设10 x 1 x 2 x 3 x 4 10,x 5 10. 随机变量 1 取值x 1 、 x 2 、x 3 、x 4 、x 5 的概率均为 0.2,随机变量 2 取值 x1 x 2 2 、x2 x 3 2 、x3 x 4 2 、x4 x 5 2 、
3、x5 x1 2 的概率也为 0.2. 若记D 1 、D 2 分别为 1 、 2 的方差,则 AD 1 D 2 .BD 1 =D 2 .CD 1 D 2 而迅即攻下此题. 二、填空题 6. 解析 设概率p=k,则n C 3 C 3 C 3 27,求 k,分三步:选二人,让他们选择的 n 222 项目相同,有C 3 种;确定上述二人所选择的相同的项目 ,有C 3 种;确定另一人所选 的项目,有C 2 种. 所以k C 3 C 3 C 2 18,故p=18 27 1 21 211 2 3 . 7. 14 15 3 5 8.【答案】. 【考点】等比数列,概率. 【解析】以 1 为首项,3为公比的等比数
4、列的10 个数为1,-3,9,-27,其中有5 个负数,1 个正数1 计 6 个数小于8, 从这10 个数中随机抽取一个数 ,它小于8 的概率是 9.【解析】使用寿命超过1000 小时的概率为 3 8 6 10 = 3 5 . 2 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000, 50) 得:三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为p 1 2 2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率P 1 1 (1 p) 3 4 那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为p 2 p 1 p 三、解答题 3 8 10.【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件
5、、事件的相互独立性、 离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题 的能力. 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 1 3 ,去参加乙游戏的概率为 2 3 .设 3则“ 这4个 人 中 恰 有i人 去 参 加 甲 游 戏 ” 为 事 件A i (i 0 , 1 , 2 , i 1 i 2 4i P ( A i ) C 4 () (). 33 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P ( A 2 ) C 4 () () 33 2 1 2 2 2 8 27 . (2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件 B,则
6、 B A 3 A 4 ,由于A 3 与A 4 互斥,故 1 3 1 3 2 4 1 4 P (B ) P ( A 3 ) P ( A 4 ) C 4 () () C 4 () 3339 所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9 . (3)的所有可能的取值为0, 2, 4,由于A 1 与A 3 互斥,A 0 与A 4 互斥,故 P( 0) P(A 2 ) 8 27 , P( 2) P(A 1 ) P(A 3 ) 40 81 , P( 4) P(A 0 ) P(A 4 ) 17 81 所以的分布列为 0 8 27 8 27 2 40 81 2 40 81 4 17
7、81 4 17 81 p 148 81 随机变量的数学期望E 0 . 【点评】 应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考 常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质, 将问题成功转化为古典概型,独立事件、 互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性 问题,理解是基础,转化是关键. 11.【解析】(1)当n 16时,y 16 (10 5) 80 当n 15时,y 5n 5(16 n) 10 n 80 10n 80(n 15) 80 (n 16) 得:y (n N ) (2)(i)X可取60,70,80 P ( X 60) 0.1,
8、P( X 70) 0.2, P( X 80) 0.7 X的分布列为 X P 607080 0.10.20.7 EX 60 0.1 70 0.2 80 0.7 76 DX 16 0.1 6 0.2 4 0.7 44 222 (ii)购进 17 枝时,当天的利润为 y (14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76.4 76.4 76得:应购进 17 枝 12.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. () X的可能取值有:3,4,5,6. P( X 3) C 5 C 9 3 3 2 5 42 ; P( X 15 42 4
9、) C 5 C 4 C 9 3 3 3 21 20 42 2 42 ; . P ( X 5) C 5 C 4 C 9 3 1 ; P( X 6) C 4 C 9 故,所求X的分布列为 X3 5 42 4 20 42 10 21 5 15 42 5 14 6 2 42 1 21 P () 所求X的数学期望E(X)为: E(X)= i 4 6 i P ( X i) 13 3 . 13 3 【答案】()见解析;(). 13.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用 概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响 ,注意应 用相互独立事件同时发
10、生的概率公式. 解:设A k , B k 分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则 PA k 1 3 ,PB k 1 2 ,k 1, 2, 3 (1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的 概率计算公式知,PC PA 1 PA 1 B 1 A 2 PA 1 B 1 A 2 B 2 A 3 PA 1 P A 1 PB 1 PA 2 P A 1 PB 1 PA 2 PB 2 PA 3 1 2 1 3323 3 3 2 1211 22 1 3 1 9 1 27 13 27 (2)的所有可能为:1, 2, 3 由独立性知:P 1 PA 1 PA 1 B 1 P 2 PA
11、1 B 1 A 2 PA 1 B 1 A 2 B 2 2 1 3 2 3 1 2 2 3 22 2 2 2 1 323 3 2 9 211 P 3 PA 1 B 1 A 2 B 2 1 2 1 9 3 2 综上知,有分布列 P 1 2 3 2 3 2 9 2 2 9 13 9 3 1 9 1 9 从而,E 1 2 3 (次) 14.解析(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么 1 1-P(C)=1- 1 10 P= 49 50 ,解得 P= 0 1 5 4 分 1 1000 (2)由题意,P(=0)=C（ 3 P(=1)=C（ 3 P(=2)=C（ 3 P(=3)=C（ 3 3 2
12、 1 1 10 ） 27 3 1 10 1 10 1 10 ） （1 ） （1 ） （1 0 2 1 10 1 10 1 10 ） 2 1000 243 1000 729 1000 ） ） 3 所以,随机变量的概率分布列为: 0 1 1000 1 27 1000 2 243 1000 3 729 1000P 故随机变量 X 的数学期望为: E=00 1 1000 1 27 1000 2 243 1000 3 729 1000 27 10 . 点评本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、 数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 15.解
13、析:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 (1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形: 第一个顾客办理业务所需的时间为1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3 分 钟;第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1 分钟;第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2 分钟. 所以P ( A) P (Y 1) P (Y 3) P (Y 3) P (Y 1) P (Y 2) P(Y 2) 0.1 0.3 0.3 0.1 0.4 0.4
14、 0.22 (2)解法一 X所有可能的取值为0,1, 2 X 0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟, 所以P ( X 0) P (Y 2) 0.5 X 1对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时 间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2 分钟. 所以P ( X 1) P (Y 1) P(Y 1) P(Y 2) 0.1 0.9 0.4 0.49 X 2对应两个顾客办理业务所需时间均为1 分钟, 所以P ( X 2) P (Y 1) P (Y 1) 0.1 0.1 0.01 所以X的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01 EX
15、 0 0.5 1 0.49 2 0.01 0.51 解法二X所有可能的取值为0,1, 2 X 0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟, 所以P ( X 0) P (Y 2) 0.5 X 2对应两个顾客办理业务所需时间均为1 分钟, 所以P ( X 2) P (Y 1) P (Y 1) 0.1 0.1 0.01 P ( X 1) 1 P ( X 0) P( X 2) 0.49 所以X的分布列为 X 012 P 3 0.50.490.01 EX 0 0.5 1 0.49 2 0.01 0.51 16.解析:()P 1 2 1127 1 () C 2 ; 4343336 ()X 0,1,2,3,4,5 P ( X 0) P ( X 3) 1 3 4 1 2 131 2 11 1 121 ().P ( X 1) (), P ( X 2) C 2 , 433643124339 C 2 1 1 33 2 1 3 , P ( X 4) 12 2 132 2 1 (), P ( X 5) () 439433 X P 1 36 0 1 36 1 1
