《概率论与数理统计课后习题(复旦大学 韩旭里)-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课后习题(复旦大学 韩旭里)-修订编选（105页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数理统计概率论与数理统计 复旦大学 习题习题 一一 1略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C 都不发生； （2） A与 B发生，C 不发生； （3） A，B，C 都发生； （4） A，B，C 至少有一个发生； （5） A，B，C 都不发生； （6） A，B，C 不都发生； （7） A，B，C 至多有 2 个发生； （8） A，B，C 至少有 2 个发生. 【解】【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC （4） ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC (5) ABC=A
2、BCUU (6) ABC (7) ABCABCABCABCABCABCABC=ABC=ABC (8) ABBCCA=ABCABCABCABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且 P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求 P（AB）. 【解】【解】 P（AB）=1 P（AB）=1 P(A) P(A B) =1 0.7 0.3=0.6 5.设A，B是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下 P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下 P（AB）取到最小值？ 【解】【解】（1） 当 AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2） 当AB
3、= 时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 第 1 页 共 105 页1 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C 至少有一事件发生的概率. 【解】【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC) = 1 4 + 1 4 + 1 3 1 12 = 3 4 7.从52张扑克牌中任意取出 13张，问有5 张黑桃，3张红心，3 张方块，2张梅花的概率 是多少？ 【解】【解】 p= 533213 1313131352 C C C C /C 8.对一个
4、五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】【解】（1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅 1 个，故 P（A1）= 5 1 7 =（ 1 7 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故 P（A2）= 5 5 6 7 =( 6 7 )5 (3) 设A3=五个人的生日不都在星期日 P（A3）=1 P(A1)=1 ( 1 7 )5 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中 M
5、件正品.从中随机地取出 n件（n30.如图阴影部分所示. 2 2 301 604 P = 22.从（0，1）中随机地取两个数，求： （1） 两个数之和小于 6 5 的概率； （2） 两个数之积小于 1 4 的概率. 【解】【解】 设两数为 x,y，则 0x,y1. （1） x+y 6 5 . 1 1 4 4 17 2 5 5 10.68 125 p = = (2) xy= 第 9 页 共 105 页9 (3) 12 (1)!13!(2)! ;,3 ! nn ppn nnn = 38.将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】【解】 设这三段长分别为 x,y,a x y.
6、则基本事件集为由 0xa,0ya,0a x y + + 构成的图形，即 0 2 0 2 2 a x a y a xya + 正正 （甲乙）=（甲正乙正）=（n+1 甲反n 乙反） =（甲反1+乙反）=（甲反乙反） 第 11 页 共 105 页11 由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反） 因此P(甲正乙正)= 1 2 46.证明“确定的原则”（Sure thing）：若 P（A|C）P(B|C),P(A|C)P(B|C)，则 P（A）P(B). 【证】【证】由P（A|C）P(B|C),得 ()() , ( )( ) P ACP BC P CP C 即有 ()()P ACP BC 同理由 (|)
7、(| ),P A CP B C 得 ()( ),P ACP BC 故 ( ) ()()()()( )P AP ACP ACP BCP BCP B=+= 47.一列火车共有n节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至 少有一个旅客的概率. 【解】【解】 设 Ai=第 i节车厢是空的，（i=1,n）,则 121 (1)1 ()(1) 2 ()(1) 1 ()(1) n k k i k k ij k iii n P A nn P A A n n P A AA n = = = L L 其中i1,i2,in 1是1，2，n中的任n 1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是 2
8、1 121 1 1 1 2 2 1 1 11 1 1 123 1 11 ()(1)C (1) 2 () C (1) 1 () C(1) 0 ()( 1) n n n kk in i k ijn ij n nk niiin iiin n n n in i SP An nn SP A A n n SP A AA n S PASSSS = 0.试证明：不论0 如何小，只要不断地独 立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】【证】 在前n 次试验中，A至少出现一次的概率为 1 (1)1() n n 49.袋中装有m 只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只， 将它
9、投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】【解】设A=投掷硬币 r 次都得到国徽 B=这只硬币为正品 由题知 ( ), ( ) mn P BP B mnmn = + 1 (|), (|)1 2r P A BP A B= 则由贝叶斯公式知 ()( ) (|) (|) ( )( ) (|)( ) (|) P ABP B P A B P B A P AP B P A BP B P A B = + 1 2 1 2 1 2 r r r m m mn mn mn mnmn + = + + + g gg 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有
10、N 根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率 又有多少？ 【解】【解】 以 B1、 B2记火柴取自不同两盒的事件，则有 12 1 ()() 2 P BP B=.（1）发现一盒已空， 另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2n r 次，设 n 次取自 B1盒（已空），n r 次取自 B2盒， 第 2n r+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2n r 次火柴视作 2n r 重贝努里试验，则所求概 率为 12 2 1111 2C( ) ( )C 2222 nnn rn n rn
11、 r r r p =g 式中2 反映B1与B2盒的对称性（即也可以是 B2盒先取空）. （2） 前 2n r 1 次取火柴，有n 1 次取自 B1盒，n r 次取自B2盒，第 2n r 次取自B1盒 故概率为 11121 22121 1111 2C( )( )C( ) 2222 nnn rnn r n rn r p = 51.求n重贝努里试验中 A出现奇数次的概率. 【解】【解】 设在一次试验中 A出现的概率为 p.则由 第 13 页 共 105 页13 00112220 ()CCCC1 nnnnnn nnnn qpp qpqp qp q +=+=L 0011222n0 ()CCC( 1) C
12、 nnnnnn nnnn qpp qpqp qp q =+ L 以上两式相减得所求概率为 11333 1 CC nn nn ppqp q =+L 1 1 () 2 n qp= 1 1 (1 2 ) 2 n p= 若要求在n 重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得 2 1 1 (1 2 ) 2 n pp=+. 52.设A，B是任意两个随机事件，求 P（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）的值. 【解】【解】因为（AB）（AB）=ABAB （AB）（AB）=ABAB 所求 ()()( )()AB AB AB AB+ ()( )ABABABAB=+UI = 故所求值为0. 53.
13、设两两相互独立的三事件，A，B和C 满足条件： ABC=，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且 P（ABC）=9/16，求P（A）. 【解】【解】由()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+UU 2 9 3 ( )3 ( ) 16 P AP A= 故 1 ( ) 4 P A =或 3 4 ,按题设P（A） 1 2 ,故 P（A）= 1 4 . 54.设两个相互独立的事件A和 B都不发生的概率为 1/9，A发生 B不发生的概率与 B发生A 不发生的概率相等，求P（A）. 【解】【解】 1 ()()1() 9 P ABP ABP A
14、B= =UU ()()P ABP AB= 故 ( )()( )()P AP ABP BP AB= 故 ( )( )P AP B= 由A,B的独立性，及、式有 第 14 页 共 105 页14 1 1( )( )( ) ( ) 9 P AP BP A P B= + 2 1 2 ( ) ( )P AP A= + 2 1( )P A= 故 1 1( ) 3 P A= 故 2 ( ) 3 P A =或 4 ( ) 3 P A =（舍去） 即P（A）= 2 3 . 55.随机地向半圆0y0,P(A|B)=1,试比较P(AB)与 P(A)的大小. (2006 研考) 解：解：因为 ()( )( )()P
15、ABP AP BP AB=+U ()( )()( )P ABP BP A BP B= 所以 ()( )( )( )( )P ABP AP BP BP A=+=U. 习题二习题二 1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X表示取出的 3只 球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律. 【解】【解】 3 5 3 5 2 4 3 5 3,4,5 1 (3)0.1 C 3 (4)0.3 C C (5)0.6 C X P X P X P X = = = = 故所求分布律为 X345 第 16 页 共 105 页16 P0.10.30.6 2.设在15只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取3次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3) 133 , 1, 1, 12 222 P XP
