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1、1 导数及其应用知识点总结导数及其应用知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为：。( )f x 12 ,x x 21 21 ()()f xf x xx 2. 导数的定义：设函数在区间上有定义，若无限趋近于 0 时，比值( )yf x( , )a b 0 ( , )xa bx 无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导，并称该常数A为函数 00 ()()f xxf xy xx ( )f x 0 xx( )f x 在处的导数，记作。函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 0 xx 0 ()fx( )f x 0 xx 3. 求函数导数的基本步骤：（1）
2、求函数的增量；（2）求平均变化率： 00 ()()yf xxf x ；（3）取极限，当无限趋近与 0 时，无限趋近与一个常数A，则 00 ()()f xxf x x x 00 ()()f xxf x x . 0 ()fxA 4. 导数的几何意义： 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求( )f x 0 xx( )yf x 00 (,()xf x 曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出在x0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率；( )yf x( )yf x 00 (,()xf x （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。 000 ()()yyfxxx
3、 当点不在上时，求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到 00 (,)P xy( )yf x( )yf x 切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线在点处的切线平行与y轴，( )yf x 00 (,()xf x 这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。 0 xx 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度，表示瞬时加速度。( )S t( )VS t( )av t 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）(k, b为常数)；（2）(C为常数)；()kxbk0C （3）；（4）；( )1x 2 ()2xx （5）；（6）； 3
4、2 ()3xx 2 11 ( ) x x （7）；（8）（为常数）； 1 () 2 x x 1 () xx 2 （9）； （10）；()ln (0,1) xx aaa aa 11 (log)log(0,1) ln aa xeaa xxa （11）；（12）；() xx ee 1 (ln )x x （13）；（14）。(sin )cosxx (cos )sinxx 2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）； （2）（C 为常数）； ( )( )( )( )f xg xfxg x( )( )Cf xCfx （3）; （4）。 ( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf
5、x g x 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g x g x gx 3. 简单复合函数的导数： 若，则，即。( ),yf uuaxb xux yyu xu yya 三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间内可导，( )yf x( , )a b （1）如果恒，则函数在区间上为增函数；( )0fx( )yf x( , )a b （2）如果恒，则函数在区间上为减函数；( )0fx( )yf x( , )a b （3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。( )0fx( )yf x( , )a
6、 b 利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数的定义域；求导数；( )yf x( )fx 解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式，解集在定义域内的( )0fx( )0fx 不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数在区间内可导，( )yf x( , )a b (1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间)；( )yf x( , )a b( )0fx( )0fxx (2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间)；( )yf x( , )a b( )0fx( )0fxx (3) 如果函数在区间上
7、为常数函数,则恒成立。( )yf x( , )a b( )0fx 2. 求函数的极值： 设函数在及其附近有定义， 如果对附近的所有的点都有（或），( )yf x 0 x 0 x 0 ( )()f xf x 0 ( )()f xf x 则称是函数的极小值（或极大值）。 0 ()f x( )f x 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： 3 （1）确定函数的定义域 ； （2）求导数； （3）求方程的全部实根，( )f x( )fx( )0fx 12n xxx 顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，和值的变化情况：( )fx( )f x x 1 (,)x 1 x 12 (
8、 ,)x x n x(,) n x ( )fx 正负0正负0正负 ( )f x 单调性单调性单调性 （4）检查的符号并由表格判断极值。( )fx 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义( )f x 0 xxI 0 ( )()f xf x 0 ()f x 域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。 求函数在区间上的最大值和最小值的步骤：( )f x , a b （1）求在区间上的极值；( )f x( , )a b （2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。( ),( )f af b( )
9、f x , a b 4. 解决不等式的有关问题： （1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 的值域是时，不等式恒成立的充要条件是，即；不等式( )()f x xA , a b( )0f x max ( )0f x0b 恒成立的充要条件是，即。( )0f x min ( )0f x0a 的值域是时，不等式恒成立的充要条件是；不等式恒成立的( )()f x xA( , )a b( )0f x 0b ( )0f x 充要条件是。0a （2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明( )0f x max ( )0f x( )f x 。 0 ( )()0f xf x 5. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注 意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。 4 5 6 7
