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1、1 八年级数学（下册）知识点总结八年级数学（下册）知识点总结 二次根式二次根式 【知识回顾】【知识回顾】 1.二次根式：式子（0）叫做二次根式。1.二次根式：式子（0）叫做二次根式。aa 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式 ； 被开方数中不含分母 ； 分母中不含根式。被开方数中不含开方开的尽的因数或因式 ； 被开方数中不含分母 ； 分母中不含根式。 3.同类二次根式：3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这
2、几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：4.二次根式的性质： （1） （）（1） （）2 2= （0） ； （2）= （0） ； （2）aaa aa2 5.二次根式的运算： 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术 根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术 根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再 移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面 变形为积的形
3、式，再 移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作 积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作 积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab=ab（a0，b0） ；） ； bb aa （b0，a0） ） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结
4、合律，）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 典型例题典型例题 1(1)二次根式的值是（）. 2 5（- ） （A） （B）5 或 （C）25 （D）555 (2)二次根式 2 ( 3)的值是（）. （A）3（B）3或3 （C）9 （D）3 (3)计算:计算: 16 = （0）aa （0）aa 0 （=0） ；a 2 (4)实数，在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ab 2 ()aba 2. (1)若式子1x在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）.
5、 （A）1x （B）1x （C）1x （D）1x (2)函数的自变量的取值范围是 1yxx 3(1)下列各式计算正确的是（）. （A） （B）2222 2 a bab （C）= （D）)9()4(49336 (2)下列各式计算正确的是（）. （A）（B）12223( 53)( 53)2 （C）=（D）)9()4(49336 4 (1)（本小题满分（本小题满分 6 分，各题分，各题 3 分）分） 计算：（1）； （2）. 12+ 205)（）+2(3 23 4(0)a ba (2).（本小题满分.（本小题满分 6 分，各题分，各题 3 分）分） 计算：（1）; （2）. 8+ 3 （）62+3（
6、）2 5-（2） （第 14 题） 3 勾股定理 1.勾股定理： 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a a2 2bb2 2=c=c2 2。 2.勾股定理逆定理2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足：如果三角形三边长 a,b,c 满足a a2 2bb2 2=c=c2 2。，那么这个三角形是直角三角形。 ，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个
7、叫做原命题，那么另一个叫做它 的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它 的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 4.直角三角形的性质 （1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90A+B=90 （1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90A+B=90 （2） 、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 （2） 、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 A=30 可表示如下： BC=AB 可表示如下： BC=AB 2 1
8、 C=90 C=90 （3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 ACB=90 可表示如下： CD=AB=BD=AD 可表示如下： CD=AB=BD=AD 2 1 D 为 AB 的中点 D 为 AB 的中点 6、常用关系式6、常用关系式 由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 7、直角三角形的判定 7、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 2、如果三角形
9、一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，那么这个三角形是直角 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，那么这个三角形是直角 222 cba 三角形。三角形。 8、命题、定理、证明 8、命题、定理、证明 1、命题的概念1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义：理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子；（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。（2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2
10、、命题的分类（按正确、错误与否分）2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 真命题（正确的命题） 命题命题 假命题（错误的命题） 假命题（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 4 3、公理3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 4、定理4、定理 用推理的方法判断为正确的命题
11、叫做定理。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 5、证明5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 6、证明的一般步骤6、证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。（1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 9、三角形中的中位线9、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共
12、有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。（2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用：三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1
13、：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相
14、等。 10 数学口诀.10 数学口诀. 平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首尾括号带 平方，尾项符号随中央。 平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首尾括号带 平方，尾项符号随中央。 勾股定理经典习题勾股定理经典习题 1 （1）若的三边长分别为，那么此三角形最大的内角的度数是（）.ABC3,2, 1 （A） （B） （C） （D）13012090
15、60 （2） 在中，则该三角形为（）.ABC6810ABACBC， （A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰直角三角形 2如图，在ABCD 中，与相交于，,则AOB 的周长为（）.ACBDO12,AD 5OB 26AC （A） （B） 25184 13 （C） （D）184 61182 61 （ 第10 题） O D C B A 5 3 如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面 1 米处折断，树尖 B 恰好碰到地面，经测量 ，则树高为（）米.2AB （A） （B） （C） （D） 1+ 51+ 32 5-13 4. .在中，若点在边上移动，则的最小值是 ABC5ABAC6BC PACBP 5.（1）.（1）如图，在三角形纸片 ABC 中，BC=3，,在上取一点，沿折叠，6AB 90BCAACEBE 使的一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为 ABBCABCDDE （2）如图有一块直角三角形纸片，,，90C60B ，现将沿直线折叠，使点2 3BC cmABCEF 落在直角边的中点处，则 ABCDCF cm 6（本小题满分（本小题满分 6 分）分） 如图一架长的梯子斜靠在竖直的墙面上,此时的长，如果梯子的顶端沿着墙下10mABOBAO6mB 滑
