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1、动点的轨迹问题 动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方 面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的 研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法 以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建 构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别 是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能 力， 运算能力， 分析问题和解决问题的能力， 而轨迹方程这一热点， 常涉及函
2、数、 三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、 已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法： 1直接法：1直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不 需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2定义法 ：2定义法 ： 运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义） ，可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，
3、从而求出轨迹方程。 3.代入法：3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动 点 Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x,y表 示为 x,y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法 ：4.参数法 ： 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助 中间变量（参数） ，使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨 迹方程。 5.交轨法 ：5.交轨法 ： 求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点
4、时 常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说 是参数法的一种变种。 6.转移法：6.转移法：如果动点 P 随着另一动点 Q 的运动而运动，且 Q 点在某一已知曲线上运动， 那么只需将 Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到 P 点的轨迹方程。 7.几何法 ：7.几何法 ： 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满 足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法：8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法：点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代),(),( 22
5、11 yxByxA 入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。 此部分内容主要考查圆锥曲线， 圆锥曲线的定义是根本， 它是相应标准方程和几何性质 的“源” 。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一 种重要的解题策略。 二、注意事项：二、注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足的 等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )( )( )( 0)( . 2 为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t tgy tfx ，yx，F 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方
6、程。 3. 求出轨迹方程后， 应注意检验其是否符合题意， 既要检验是否增解， （即以该方程的某 些解为坐标的点不在轨迹上） ， 又要检验是否丢解。 （即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示） ，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端 情形。 4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 【典型例题选讲典型例题选讲】 一、直接法题型：一、直接法题型： 例例 1 已知直角坐标系中，点 Q（2，0） ，圆 C 的方程为，动点 M 到圆 C 的切1 22 yx 线长与的比等于常数，求动点 M 的轨迹。MQ)0( 解：解：设 MN 切圆 C 于 N，则。 222
7、 ONMOMN 设，则 ),(yxM 2222 )2(1yxyx 化简得0)41 (4)(1( 22222 xyx （1）当时，方程为，表示一条直线。1 4 5 x （2）当时，方程化为表示一个圆。1 22 2 22 2 2 ) 1( 31 ) 1 2 ( yx 说明 ：说明 ： 求轨迹方程一般只要求出方程即可， 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 变式- -变式- - 如图，圆与圆的半径都是 1，过动点 P 分别作圆、圆的 1 O 2 O4 21 OO 1 O 2 O 切线 PM、PN（M、 N 分别为切点） ， 使得 试建立适当的坐标系， 并求动点 PPNPM2 P O1O2 N
8、 M y xQ M N O 的轨迹方程 解：以的中点 O 为原点，所在的 21O O 21O O 直线为轴，建立平面直角坐标系，x 则)0 , 2(),0 , 2( 21 OO 由已知可得：PNPM2 22 2PNPM 因为两圆的半径均为 1，所以) 1(21 2 2 2 1 POPO 设，则，即),(yxP 1)2(21)2( 222 yxx33)6( 22 yx 所以所求轨迹方程为：（或）33)6( 22 yx0312 22 xyx 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最 后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，
9、求轨迹却不仅要求出方程而且要说 明轨迹是什么。 二、定义法题型：二、定义法题型： 运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义） ，可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例 2 例 2 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直 线 l 于点 A， 又过 B、C 作O异于 l 的两切线，设这两切线交于 点 P，求点 P 的轨迹方程. 【解析】设过 B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、E 两 点， 两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|， |CA|=|CE|，故|PB|+|PC|
10、=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|， 故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆， 以 l 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点 P 的轨迹方程为： 22 1 8172 xy 练习： 练习： 已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A 的坐标为（-6，0） ，M 为圆 O 上任一点，AM 的垂 l O P E D C B A 直平分线交 OM 于点 P，求点 P 的方程。 解：由中垂线知，故，即 P 点的轨迹为PMPA 10OMPOPMPOPA
11、 以 A、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0） ，故 P 点的方程为125 1625 )3( 22 yx 评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。 三、代入法题型：三、代入法题型： 例 3 例 3 如图，从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N。求线段 QN 的中 点 P 的轨迹方程。 解：解：设动点 P 的坐标为（x,y）,点 Q 的坐标为（x1,y1） 则 N（ 2x-x1,2y-y1）代入 x+y=2,得 2x-x1+2y-y1=2 又 PQ 垂直于直线 x+y=2，故，即 x-y+y1-x1=0 1 1 1 xx yy 由解方程组
12、得, 代1 2 3 2 1 , 1 2 1 2 3 11 yxyyxx 入双曲线方程即可得 P 点的轨迹方程是 2x2-2y2-2x+2y-1=0 练习 ：练习 ： 已知曲线方程 f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点， 关于 x 轴， 关于 y 轴， 关于直线 y=x， 关 于 直 线 y=-x， 关 于 直 线 y=3 对 称 的 曲 线 方 程 。 (f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(- x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0) 四、参数法与点差法题型：四、参数法与点差法题型： 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可
13、借助 中间变量（参数） ，使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出 动点的轨迹方程。 例例 4 经过抛物线 y2=2p(x+2p)(p0)的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B、C 两 点，求线段 BC 的中点 M 轨迹方程。 解：解：A（-2p,0）,设直线 AB 的方程为 y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得 B 点的坐标为，由于 AC 与 AB 垂直，则 AC 的方程为，与抛) 2 ,2 2 ( 2 k p p k p )2( 1 px k y 物线方程联立方程组可解得 C 点的坐标为， 又 M 为 BC 中点， 设 M（x,y）, )2
14、,22( 2 kpppk 则，消去 k 得 y2=px,即点 M 的轨迹是抛物线。 kp k p y ppk k p x2 2 2 巩固与提高：巩固与提高：11在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2上异于坐标原点 O 的 两不同动点 A、 B 满足 AOBO（如图 4 所示）.求AOB 的重心 G（即三角形 三条中线的交点）的轨迹方程； 【解析】 解法一：以OA的斜率k为参数由解得 2 ykx yx A（k，k2） OAOB， OB：由解得B 1 yx k 2 1 yx k yx 2 11 , k k 设AOB的重心G（x，y） ，则 2 2 11 3 11 3 xk k yk k 消
15、去参数k得重心G的轨迹方程为 2 2 3 3 yx 解法二：设AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1） 3 3 21 21 yy y xx x OAOB ,即，(2)1 OBOA kk1 2121 yyxx 又点 A，B 在抛物线上，有，代入（2）化简得 2 22 2 11 ,xyxy1 21 xx 3 2 3 3 2 )3( 3 1 2)( 3 1 )( 3 1 3 22 21 2 21 2 2 2 1 21 xxxxxxxx yy y 所以重心为 G 的轨迹方程为。 3 2 3 2 xy 22如图，设抛物线的焦点为 F，动点 P 在直线上运动， 2 :
16、xyC02: yxl 过P作抛物线C的两条切线PA、 PB， 且与抛物线C分别相切于A、 B两点.求APB 的重心 G 的轨迹方程. 【解析】设切点 A、B 坐标分别为，)(,(),( 01 2 11 2 0 xxxxxx和 切线 AP 的方程为：; 02 2 00 xyxx 切线 BP 的方程为：; 02 2 11 xyxx O G B A y x P l 解得 P 点的坐标为： 10 10 , 2 xxy xx x PP 所以APB 的重心 G 的坐标为 ， P P G x xxx x 3 10 , 3 4 3 )( 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pP P G yx xxxxxxxxyyy y 所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方 2 43 GGp xyy 程为： ).24( 3 1 , 02)43( 22 x
