《三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)-修订编选（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、和差化积和积化和差公式和差化积和积化和差公式 正弦、余弦的和差化积正弦、余弦的和差化积 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 【注意右式前的负号】 2 sin 2 sin2coscos 证明过程 证明过程 sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2的证明过程sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2的证明过程 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， sin(-)=sin cos -
2、cos sin ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 设 +=，-= 那么 ， 2 2 把 ， 的值代入，即得 sin +sin =2sincos 2 2 正切和差化积正切和差化积 tantan= coscos )sin( cotcot= sinsin )sin( tan+cot= sincos )cos( tan-cot= sincos )cos( 证明：左边=tantan= cos sin cos sin = coscos sincoscossin =右边 coscos )sin( 在应用和
3、差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名； 若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 记忆口诀（正弦余弦） 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 生动的口诀： 帅+帅=帅哥 帅-帅=哥帅 咕+咕=咕咕 哥-哥=负嫂嫂 积化和差公式积化和差公式 （注意：此时差的余弦差的余弦在和的余弦和的余弦前面） 2 coscos sinsin 或写作： （注意：此时公式前有负号负号） 2 coscos sinsin 2 coscos coscos 2 sinsin cossin 2 sinsin sincos 证明证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差
4、恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： sinsin2 2 1 sinsin 2 sinsincoscossinsincoscos coscos 2 1 其他的 3 个式子也是相同的证明方法。 结果除以 2结果除以 2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin 和 cos 的值域都是-1,1，其和差 的值域应该是-2,2，而积的值域确是-1,1，因此除以 2 是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数 2，如： cos(-)-cos(+) =1/2(coscos+sinsin)-(coscos-sins
5、in) =2sinsin 故最后需要除以 2。 使用同名三角函数的和差使用同名三角函数的和差 无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主 要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不 会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。 使用哪种三角函数的和差使用哪种三角函数的和差 仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正 弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异 名三角函数的乘积，化作正弦的和差。 是和还是差？是和还是差？ 这是积化
6、和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“小角” 以 cos 的形式出现时， 乘积化为和和；反之，则乘积化为差差。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果 的形式是 cos，那么若把 替换为-，结 果应当是一样的，也就是含 + 和 - 的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当 是和；另一种情况可以类似说明。 正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况，完全可以死记下来。 当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如0,内余弦函数的单调性。因为这个区间 内余弦函数是单调减的，所以 cos(+)不大于 cos(-)。但是这时对应的 和 在0,的 范围内，其正弦的乘积应大于等于 0，所以要么反过来把 cos(-)放到 cos(+)前面，要么就 在式子的最前面加上负号。
