《数列求和7种方法(方法全,例子多)-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求和7种方法(方法全,例子多)-修订编选（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和一、总论：数列求和 7 种方法：种方法： 利用等差、等比数列求和公式利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和错位相减法求和 反序相加法求和反序相加法求和 分组相加法求和分组相加法求和 裂项消去法求和裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和）分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法， 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基
2、本方法。三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定 的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 2、等比数列求和公式： ) 1( 11 )1 ( ) 1( 11
3、1 q q qaa q qa qna S n n n 3、 4、) 1( 2 1 1 nnkS n k n ) 12)(1( 6 1 1 2 nnnkS n k n 5、 2 1 3 )1( 2 1 nnkS n k n 例例1 已知，求的前 n 项和. 3log 1 log 2 3 x n xxxx 32 2 解：由 2 1 2loglog 3log 1 log 33 2 3 xxx 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） n n xxxxS 32 1 x xx n 1 )1 ( 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 n n 2 1 例例2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 1
4、 )32( )( n n Sn S nf 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）) 1( 2 1 nnSn)2)(1( 2 1 nnSn 1 )32( )( n n Sn S nf 6434 2 nn n n n 64 34 1 50) 8 ( 1 2 n n 50 1 当 ，即 n8 时， 8 8 n 50 1 )( max nf 题 1.等比数列的前项和 S2，则 题 2若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c= . 解： 原式= 答案： 二、错位相减法求和二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于
5、求数列anbn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 例例3 求和： 132 ) 12(7531 n n xnxxxS 解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积 1 ) 12( n xn 1n x 设. （设制错位） n n xnxxxxxS) 12(7531 432 得 （错位相减） nn n xnxxxxxSx) 12(222221)1 ( 1432 3 再利用等比数列的求和公式得： n n n xn x x xSx) 12( 1 1 21)1 ( 1 2 1 )1 ( )1 () 12() 12( x xxnxn S nn n 例例4 求数
6、列前 n 项的和. , 2 2 , 2 6 , 2 4 , 2 2 32n n 解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积 n n 2 2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 （设制错位） 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 得 （错位相减） 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 1 ( nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 练习题 1 已知 ，求数列an的前n项和Sn. 答案： 练习题 2 的前 n 项和为_ 答案： 三、反序相加法
7、求和三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原 数列相加，就可以得到 n 个.)( 1n aa 例例5 求证： nn nnnn nCnCCC2) 1() 12(53 210 证明： 设. n nnnnn CnCCCS) 12(53 210 把式右边倒转过来得 （反序） 011 3) 12() 12( nn n n n nn CCCnCnS 又由可得 mn n m n CC 4 . n n n nnnn CCCnCnS 110 3) 12() 12( +得 （反序相加） nn n n nnnn nCCCCnS2) 1(2)(
8、22(2 110 n n nS2) 1( 例例6 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解：设. 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将式右边反序得 . （反序） 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 又因为 1cossin),90cos(sin 22 xxxx +得 （反序相加） 89 )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222 S S44.5 题 1 已知函数 （1）证明：； （2）求的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已
9、经证明的结论可知， 两式相加得： 所以. 练习、求值： 5 四、分组法求和四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例例7 求数列的前 n 项和：，23 1 , , 7 1 , 4 1 , 11 12 n aaa n 解：设)23 1 ()7 1 ()4 1 () 11 ( 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 （分组）)23741 () 111 1 ( 12 n aaa S n n 当 a1 时， （分组求和） 2 ) 13(nn nSn 2 ) 13(nn 当时，
10、1a 2 ) 13( 1 1 1 1 nn a a S n n 2 ) 13( 1 1 nn a aa n 例例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和. 解：设kkkkkkak 23 32) 12)(1( n k n kkkS 1 ) 12)(1()32( 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 )21 ()21 (3)21 (2 222333 nnn （分组求和） 2 ) 1( 2 ) 12)(1( 2 ) 1( 22 nnnnnnn 2 )2() 1( 2 nnn 五、裂项法求和五、裂项法求和
11、这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2）)() 1(nfnfan nn nn tan) 1tan( ) 1cos(cos 1sin 6 （3） （4） 1 11 ) 1( 1 nnnn an) 12 1 12 1 ( 2 1 1 ) 12)(12( )2( 2 nnnn n an （5） )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn an (6) n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2) 1( 1 1, 2
12、) 1( 1 2 1 2 1 ) 1( ) 1(2 2 1 ) 1( 2 1 则 （7）) 11 ( 1 )( 1 CAnBAnBCCAnBAn an （8） 1 1 1 n ann nn 例例9 求数列的前 n 项和. , 1 1 , 32 1 , 21 1 nn 解：设 （裂项）nn nn an 1 1 1 则 （裂项求和） 1 1 32 1 21 1 nn Sn )1()23()12(nn 11n 例例10 在数列an中，又，求数列bn的前 n 项的和. 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 解： 211 2 1 1n n n nn an （裂项）) 1 11
13、 (8 2 1 2 2 nn nn bn 数列bn的前 n 项和 （裂项求和）) 1 11 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1(8 nn Sn ) 1 1 1 (8 n1 8 n n 例例11 求证： 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 7 解：设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S （裂项） nn nn tan) 1tan( ) 1cos(cos 1sin （裂项求和） 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 88tan89tan)2ta
14、n3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan 1sin 1 )0tan89(tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 原等式成立 练习题 1. 答案：. 练习题 2。 = 答案： 六、分段求和法（合并法求和）六、分段求和法（合并法求和） 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求 Sn. 例例12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值. 解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）)180cos(cos nn Sn （cos1+ cos179）
